Inel (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Un inel (de asemenea un inel asociativ ) în algebra generală este o structură algebrică în care sunt definite operația de adunare reversibilă și operația de înmulțire , similare ca proprietăți cu operațiile corespunzătoare asupra numerelor . Cele mai simple exemple de inele sunt colecții de numere ( întregi , reale , complexe ), colecții de funcții numerice definite pe o mulțime dată. În toate cazurile, există o mulțime asemănătoare colecțiilor de numere în sensul că elementele sale pot fi adunate și înmulțite, iar aceste operații se comportă natural [1] .

Pentru a studia proprietățile generale ale operațiilor de înmulțire și adunare, legătura lor internă între ele, indiferent de natura elementelor asupra cărora se efectuează operațiile, a fost introdus conceptul de inel [2] .

Inelele sunt obiectul principal de studiu al teoriei inelelor - o secțiune majoră a algebrei generale, în care au fost dezvoltate instrumente care și-au găsit aplicații extinse în geometria algebrică , teoria algebrică a numerelor , teoria algebrică $K$ și teoria invariante .

Istorie

Dezvoltarea rapidă a algebrei ca știință a început în secolul al XIX-lea. Una dintre principalele sarcini ale teoriei numerelor în anii 1860 și 1870 a fost construirea unei teorii a divizibilității în domeniile generale ale numerelor algebrice . Soluția la această problemă a fost publicată de Richard Dedekind („X Supplement to lectures on the theory of Dirichlet numbers”, 1871). În această lucrare a fost luat în considerare mai întâi conceptul de inel de numere întregi ale unui câmp numeric; în acest context, au fost definite conceptele de modul și de ideal [3] .

Definiție

Un inel este o mulțime pe care sunt date două operații binare : și (numite adunare și înmulțire ), cu următoarele proprietăți care sunt valabile pentru orice : $R$ $+$ $\times$ $a, b, c \ în R$

$a + b = b + a$ — comutativitatea adunării;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - asociativitatea adunării;
$\există 0 \în R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ - existenţa unui element neutru în raport cu adăugarea;
$\forall a\in R\;\există b\în R\left(a+b=b+a=0\right)$ - existenta elementului opus fata de adunare;
$(a \times b) \times c=a \times (b \times c)$ — asociativitatea înmulțirii;
$\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times) a)+(c\ori a)\end{matrice}}\dreapta.$ - distributivitatea .

Cu alte cuvinte, un inel este o algebră universală care este un grup abelian în ceea ce privește adunarea , un semigrup în ceea ce privește înmulțirea și este distributiv cu două fețe în raport cu . $\left(R,+,\times\right)$ $+$ $\times$ $\times$ $+$

Inelele pot avea următoarele proprietăți suplimentare:

prezența unei unități : ( un inel cu o unitate ), de obicei o unitate se notează cu 1; $\există e \în R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$
comutativitatea înmulțirii: ( inel comutativ ); $\forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$

Uneori, un inel este înțeles doar ca un inel cu o unitate [4] (adică se cere să fie un monoid ), dar sunt studiate și inelele fără unitate (de exemplu, un inel de numere pare este un inel asociativ comutativ fără unitate [5] ). $\left(R,\times\right)$

În loc de simbol, un simbol este adesea folosit (sau este omis cu totul). $\times$ $\cdot$

Cele mai simple proprietăți

Următoarele proprietăți pot fi deduse direct din axiomele inelului:

în ceea ce privește adăugarea în inel, elementul neutru este unic;
pentru orice element al inelului, elementul invers față de acesta în plus este unic;
elementul neutru sub înmulțire, dacă există, este unic;
$a\cdot 0 = 0,$ adică 0 este un element absorbant prin înmulțire;
$(-b) = (-1) \cdot b,$ unde este elementul invers față de în plus; $(-b)$ $b$
$(-a) \cdot b = (-ab);$
$(-a) \cdot (-b) = (ab).$ [6] [5]

Concepte de bază

Tipuri de elemente inelare

Fie ca inelul să aibă alte elemente decât zero (inelul nu este banal ). Atunci divizorul zero din stânga este un element diferit de zero al inelului pentru care există un element diferit de zero al inelului, astfel încât divizorul zero din dreapta este definit în mod similar. În inelele comutative, aceste concepte coincid. Exemplu: considerăm un inel de funcții continue pe un interval Să fim atunci , adică, sunt divizori zero. Aici condiția înseamnă că este o altă funcție decât zero, dar nu înseamnă că nu ia o valoare nicăieri [7] $A$ $R,$ $b$ $R$ $ab=0.$ $(-unsprezece).$ $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ $f, g$ $f\ne0$ $f$ $f$ $0.$

Un element nilpotent este un element astfel încât pentru unele Exemplu: o matrice Un element nilpotent este întotdeauna un divizor zero (cu excepția cazului în care inelul este format dintr-un zero), invers nu este adevărat în cazul general [8] . $A,$ $a^n = 0$ $n > 0.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr).$

Un element idempotent este un element astfel încât, de exemplu, orice operator de proiecție este idempotent , în special următorul: în inelul matricei [9] $e$ $e\cdot e=e.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 și 0\\0 și 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ $2\ ori 2.$

Dacă este un element arbitrar al unui inel cu identitate, atunci elementul invers stâng al lui k este astfel încât elementul invers din dreapta este definit în mod similar. Dacă un element are atât un element invers stâng, cât și unul drept, atunci acesta din urmă coincid și ei spun că are un element invers, care este definit și notat în mod unic . Elementul în sine este numit element inversabil. [7] $A$ $R,$ $A$ $a^{-1}_{l}$ $a^{-1}_{l}a=1.$ $A$ $A$ $a^{-1}.$

Subring

O submulțime se numește subînel dacă este el însuși un inel în raport cu operațiile definite în În acest caz, se spune că este o extensie a inelului [10] Cu alte cuvinte, o submulțime nevidă este un subînel dacă $A\subset R$ $R,$ $A$ $R.$ $R$ $A.$ $A\subset R$

$A$ este un subgrup aditiv al inelului , adică pentru orice $R,$ $x, y \in A : x+y, -x \in A,$
$A$ este închis la înmulțire, adică pentru orice $x, y \in A : xy \in A.$

Prin definiție, un subring nu este gol deoarece conține elementul nul . Zero și unul dintr-un inel sunt zero și unul din oricare dintre subinele sale [11] .

Subinelul moștenește proprietatea comutativității [12] .

Intersecția oricărui set de inele secundare este un subinel. Cel mai mic subinel care conține o submulțime se numește subinel generat de un sistem generator pentru inelul .Un astfel de subring există întotdeauna, deoarece intersecția tuturor subinelelor care conțin satisface această definiție. [unsprezece] $E\subset R$ $E,$ $E$ $R.$ $E,$

Un subring al unui inel cu identitate generată de identitatea sa se numește cel mai mic sau principal subinel al inelului.Un astfel de subring este conținut în orice subring al inelului [13] $R,$ $R.$ $R.$

Idealuri

Definiția și rolul idealului unui inel este similară cu definiția unui subgrup normal din teoria grupurilor [14] .

O submulțime nevidă a unui inel se numește ideal stâng dacă: $eu$ $R$

$eu$ este un subgrup aditiv al inelului, adică suma oricăror două elemente din aparține lui și $eu$ $eu$ $a\în I\Rightarrow -a\în I.$

$eu$ este închis la înmulțirea din stânga cu un element arbitrar al inelului, adică pentru orice este adevărat . $a\în eu,$ $r\în R$ $ra\in I$

Prima proprietate implică, de asemenea, că este închisă sub înmulțire în interiorul său, deci este un subring. $eu$ $eu$

Un ideal drept care este închis prin înmulțire cu un element al inelului din dreapta este definit în mod similar.

Un ideal cu două fețe (sau doar un ideal) al unui inel este orice submulțime nevidă care este atât un ideal stânga cât și unul drept. $R$

De asemenea, idealul unui inel poate fi definit ca nucleul unui homomorfism [15] . $R$ $f:R\la R'$

Dacă este un element al inelului , atunci mulțimea de elemente de forma (respectiv, ) se numește idealul principal stânga (respectiv, dreapta) generat de . Dacă inelul este comutativ, aceste definiții coincid și se notează idealul principal generat.De exemplu, mulțimea tuturor numerelor pare formează un ideal în inelul numerelor întregi, acest ideal este generat de elementul 2. Se poate demonstra că toate idealurile din inelul numerelor întregi sunt principale [16] . $X$ $R$ $Rx$ $xR$ $X$ $R$ $X,$ $(X).$

Un ideal al unui inel care nu coincide cu întregul inel este numit simplu dacă inelul coeficient al acestui ideal nu are divizori zero. Un ideal al unui inel care nu coincide cu întregul inel și nu este conținut în niciun ideal mai mare care nu este egal cu inelul se numește maximal [17] .

Omomorfism

Un homomorfism inel (homomorfism inel) este o mapare care păstrează operațiile de adunare și înmulțire. Și anume, un homomorfism inel la inel este o funcție astfel încât $R$ $S$ $f:R\la S,$

$f(a + b) = f(a) + f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R$ .

În cazul inelelor cu identitate, uneori sunt necesare și condițiile [18] [19] . $f(1) = 1$

Un homomorfism inel se numește izomorfism dacă există un homomorfism inel invers . Orice homomorfism inel bijectiv este un izomorfism. Un automorfism este un homomorfism dintr-un inel în sine, care este un izomorfism. Exemplu: maparea identității unui inel pe sine este un automorfism [20] .

Dacă este un homomorfism inel, setul de elemente care dispar se numește nucleu (notat cu ). Miezul oricărui homomorfism este un ideal cu două fețe [21] . Pe de altă parte, imaginea nu este întotdeauna un ideal, ci este un subring [15] (notat cu ). $f:R\la S$ $R,$ $f$ $\mathrm{ker} f$ $f$ $S$ $\mathrm{im}f$

Inel factor

Definiția unui inel coeficient de către un ideal este similară cu definiția unui grup de coeficient . Mai precis, inelul coeficient al unui inel după un ideal cu două fețe este mulțimea de clase ale unui grup aditiv de către un subgrup aditiv cu următoarele operații: $R$ $eu$ $R$ $eu$

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ ,
$(a+I)(b+I)=(ab)+I$ .

Similar cu cazul grupurilor, există un homomorfism canonic dat de . Miezul este idealul . $p: R \la R/I$ $x \mapsto x + I$ $eu$

În mod similar cu teorema de homomorfism de grup, există o teoremă de homomorfism de inel: atunci fie izomorfă la un inel de coeficient în raport cu nucleul de homomorfism [22] . $f:R\la R',$ $\mathrm{Im}f$ $\mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f$

Câteva clase speciale de inele

Un inel cu unitatea , în care fiecare element diferit de zero este inversabil, se numește inel [23] . $1\neq 0$
Un corp comutativ se numește câmp [24] ; cu alte cuvinte, câmpul este un inel comutativ cu identitate care nu are idealuri non-triviale [8] [25] .
Un inel comutativ fără divizori zero se numește domeniu de integritate (sau inel integral) [26] . Orice câmp este o zonă de integritate, dar invers nu este adevărat [27] .
Un inel integral care nu este un câmp se numește euclidian dacă pe inel este dată o normă astfel încât: $R$ $N\colon R\la Z_{+)$
1. pentru orice diferit de zero este adevărat că ; $a, b \ în R$ $N(a)\leq N(ab)$
2. pentru orice diferit de zero există astfel încât și sau
[26] . $a, b \ în R$ $q,r \în R$ $a = qb + r$ $r=0$ $N( r ) < N(b)$
Un inel integral în care fiecare ideal este principal se numește inelul idealurilor principale ; fiecare inel euclidian și fiecare câmp sunt inele ideale principale [12] .
Un inel ale cărui elemente sunt numere și ale cărui operații sunt adunarea și înmulțirea numerelor se numește inel numeric , de exemplu, mulțimea numerelor pare este un inel numeric, dar niciun sistem de numere negative nu va fi un inel, deoarece produsul lor este pozitiv [28] .

Exemple

$\{0\}$ este un inel banal format dintr-un zero. Acesta este singurul inel în care zero este unul multiplicativ [5] . Este util să considerăm acest exemplu banal un inel din punctul de vedere al teoriei categoriilor , deoarece în acest caz apare un obiect terminal în categoriile de inele .
$\mathbb {Z}$ - numere întregi (cu adunarea și înmulțirea obișnuite). Acesta este cel mai important exemplu de inel, deoarece orice inel poate fi privit ca o algebră peste . Este, de asemenea, obiectul de pornire din categoria Ring de inele unitare. [29] [30] $\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} _{n}$ este un inel de reziduuri finit modulo un număr natural n . Acestea sunt exemple clasice de inele din teoria numerelor. Un inel rezidual este un câmp dacă și numai dacă n este prim . [31] Câmpurile corespunzătoare sunt punctul de plecare pentru construirea teoriei câmpurilor finite . Inelele reziduale sunt de asemenea importante în studiul structurii grupurilor abeliene generate finit și pot fi folosite și pentru a construi numere p -adice .
$\mathbb {Q}$ este inelul numerelor raționale , care este un câmp. Acesta este cel mai simplu domeniu al caracteristicii 0. Este principalul obiect de studiu în teoria numerelor. Completarea acestuia conform diverselor norme neechivalente dă câmpuri de numere reale și numere p -adice unde p este un număr prim arbitrar [32] . $\mathbb {R}$ $\Q_p,$
Pentru un inel comutativ arbitrar , se poate construi un inel polinomial în n variabile cu coeficienți în [11] În special, un inel polinomial cu coeficienți întregi este un inel polinomial universal, în sensul că toate inelele polinomiale sunt exprimate în termeni de tensor. produs : $R$ $R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ $R.$ $R[x][y]=R[x,y].$ $R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right).$
Inelul de submulțimi ale unei mulțimi este un inel ale cărui elemente sunt submulțimi în . Operația de adunare este o diferență simetrică , iar înmulțirea este intersecția mulțimilor : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),

A \cdot B = A \cap B.

Axiomele inelului sunt ușor de verificat. Elementul zero este o mulțime goală, unitatea este totul.Toate elementele inelului sunt idempotente, adică orice element este inversul său în plus: Inelul submulților este important în teoria algebrelor booleene și în teoria măsurării , în special în construcţia teoriei probabilităţilor [5] .

X.

A\cdot A = A.

A+A=0.

Construcții

Produs direct

Produsul inelelor și poate fi echipat cu structura naturală a inelelor: pentru orice , : $R\time S$ $R$ $S$ $r_1,r_2\în R$ $s_{1},s_{2}\în S$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

O construcție similară există pentru produsul unei familii arbitrare de inele (adunarea și înmulțirea sunt date în funcție de componente) [33] .

Fie un inel comutativ și idealuri coprime perechi în el (idealele sunt numite coprime dacă suma lor este egală cu întregul inel). Teorema chineză a restului afirmă că o mapare: $R$ $\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n$

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a }_n)

este surjectiv, iar nucleul său este ( produsul idealurilor , intersecția idealurilor ) [18] . $\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i$

Inel de endomorfisme

Setul de endomorfisme ale unui grup abelian formează un inel, notat cu . Suma a două endomorfisme este definită din punct de vedere al componentelor: , iar produsul este definit ca o compoziție: . Dacă este un grup non-abelian, atunci , în general, nu este egal cu , în timp ce adăugarea într-un inel trebuie să fie comutativă [34] . $(A,+)$ $\operatorname {End} (A)$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=f(g(x))$ $(A,+)$ $f+g$ $g+f$

Câmpul de soldați și ringul de soldați

Pentru un inel integral , există o construcție care permite construirea celui mai mic câmp care îl conține. Câmpul inelelor parțiale este mulțimea claselor de echivalență ale fracțiilor formale conform următoarei relații de echivalență : $R$ $R$ $p/q,\; p,q\în R$

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}

dacă și numai dacă

{p_1q_2}={p_2q_1},

cu operațiuni normale: ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

Nu este deloc evident că relația dată este într-adevăr o relație de echivalență: pentru dovadă trebuie să folosim integritatea inelului. Există o generalizare a acestei construcții la inele comutative arbitrare. Și anume, un sistem închis multiplicativ într-un inel comutativ (adică o submulțime care conține unul și nu conține zero; produsul oricăror două elemente din submulțime îi aparține din nou). Atunci inelul de câte este mulțimea claselor de echivalență ale fracțiilor formale în raport cu relația de echivalență: $S$ $R$ $S^{-1}R$ $r/s,\; r\în R, s\în S$

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}

dacă și numai dacă există astfel încât

s'\în S

s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1)))=0.

Această construcție se mai numește și localizarea inelului (deoarece în geometria algebrică permite studierea proprietăților locale ale varietatii în punctul său individual). Exemplu: inelul de zecimale - localizarea inelului de numere întregi conform sistemului multiplicativ $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

Există o mapare naturală Nucleul său este format din astfel de elemente pentru care există astfel încât . În special, pentru un inel integral această hartă este injectivă [35] [36] . $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ $r$ $s\în S$ $rs=0$

Descrierea categoriei

Inelele împreună cu homomorfismele inelelor formează o categorie , de obicei notată (uneori categoria inelelor cu unitate se notează astfel, iar categoria inelelor obișnuite se notează cu ). Categoria inelelor unitare are multe proprietăți utile: în special, este completă și cocompletă . Aceasta înseamnă că toate limitele și colimitele mici există în el (de exemplu, produse , coproduse , sâmburi și sâmburi ). Categoria inelelor cu unitate are un obiect inițial (ring ) și un obiect terminal (zero ring). $\mathbf {Inel}$ ${\mathbf {Rng}}$ $\mathbb {Z}$

Se poate da următoarea definiție categorică a unui inel: un inel asociativ cu o unitate este un monoid din categoria grupărilor abeliene (grupurile abeliene formează o categorie monoidală în raport cu operația produsului tensor ). Acțiunea unui inel R asupra unui grup abelian (un inel tratat ca monoid prin multiplicare ) transformă un grup abelian într- un modul R. Conceptul de modul generalizează conceptul de spațiu vectorial : în general, un modul este „un spațiu vectorial peste un inel”. [29] [30]

Clase speciale de inele

Generalizări - inel neasociativ , semiring , aproape inel .

Structuri peste inele

Note

↑ Vinberg, 2011 , p. 17-19.
↑ Belsky A., Sadovsky L. Rings // Kvant . - 1974. - Nr 2 .
↑ Erich Reck. Contribuțiile lui Dedekind la fundamentele matematicii // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 01-01-2012. Arhivat din original pe 2 decembrie 2013.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 , p. 9.
↑ 1 2 3 4 Vinberg, 2011 , p. 18-19.
↑ Kurosh, 1968 , p. 273-275.
↑ 1 2 Van der Waerden, 1975 , p. 51-53.
↑ 1 2 Atiyah, Macdonald, 1972 , p. unsprezece.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 359.
↑ Vinberg, 2011 , p. 407.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , p. 110-111.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , p. 21.
↑ Kulikov, 1979 , p. 437.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 64.
↑ 1 2 Feis, 1977 , p. 153.
↑ Kulikov, 1979 , p. 430-431.
↑ Vinberg, 2011 , p. 406.
↑ 1 2 Feis, 1979 , p. zece.
↑ Vinberg, 2011 , p. 388.
↑ Kulikov, 1979 , p. 107-108.
↑ Kulikov, 1979 , p. 432.
↑ Vinberg, 2011 , p. 387-390.
↑ Vinberg, 2011 , p. 523.
↑ Face, 1977 , p. 152.
↑ Kulikov, 1979 , p. 430.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , p. 118.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 .
↑ Kurosh, 1968 , p. 266.
↑ 1 2 Face, 1977 .
↑ 1 2 Face, 1979 .
↑ Vinberg, 2011 , p. 28-34.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 509-512.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 33.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 173.
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 450-452.
↑ Kurosh, 1968 , p. 305-311.

Literatură

M. Atiyah , I. MacDonald. Introducere în algebra comutativă. - M . : Mir, 1972. - 160 p.
Belsky A., Sadovsky L. Rings. // Quantum No. 2, 1974.
Van der Waerden B. L. Algebră. - M . : Mir, 1975. - 623 p.
Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ediție nouă, revizuită. și suplimentare .. - M . : MTSNMO, 2011. - 592 p.
Glazer G. I. Istoria matematicii la scoala: clasa IX-X. Ghidul profesorului - Ediție nouă, revizuită. şi suplimentare .. - M . : Educaţie, 1983. - 351 p.
Matematica secolului al XIX-lea. Logica matematică. Algebră. Teoria numerelor. Teoria probabilității / Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (eds.). — M .: Nauka, 1978. — 255 p.
Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor: Proc. manual pentru institutele pedagogice. - M .: Mai sus. şcoală, 1979. - 559 p.
Kurosh A. G. Curs de algebră superioară .. - M . : Nauka, 1968. - 431 p.
Fața K. Algebră. Inele, module, categorii. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 688 p.
Fața K. Algebră. Inele, module, categorii. - M . : Mir, 1979. - T. 2. - 464 p.
Herstein I. Inele necomutative. - M . : Mir, 1972. - 190 p.

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX531097 BNF : 131630283 GND : 4128084-2 J9U : 987007538867405171 LCCN : sh85114140 NKC : ph126754