Principiul Duhamel

În matematică , și mai precis în ecuații diferențiale , principiul Duhamel permite găsirea unei soluții la ecuația de undă neomogenă , precum și ecuația de căldură neomogenă [1] . Este numit după Jean-Marie Constant Duhamel (1797–1872), un matematician francez.

O ecuație de undă neomogenă este dată:

u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)

cu conditiile initiale

u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.

Soluția arată astfel:

u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{xc(ts)}^{x+c(ts)}f( \xi ,s)\,d\xi \,ds.

Pentru o EDO liniară cu coeficienți constanți

Principiul lui Duhamel spune că o soluție la o ecuație diferențială parțială liniară neomogenă poate fi găsită prin găsirea unei soluții pentru o ecuație omogenă și apoi înlocuirea acesteia în integrala Duhamel . Să presupunem că avem o ecuație diferențială ordinară neomogenă cu coeficienți constanți de ordinul m:

P(\partial _{t})u(t)=F(t)

\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1

Unde

P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\; a_{m}\neq 0.

Putem rezolva mai întâi EDO omogenă folosind următoarele metode. Toți pașii se fac formal, ignorând cerințele necesare pentru ca o soluție să fie clar definită.

P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\ parțial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.

Definiţi funcţia caracteristică pe interval . Apoi $H=G\chi _{[0,\infty ))$ $\chi _{[0,\infty ))$ $[0,\infty)$

P(\partial _{t})H=\delta

este o funcție generică .

u(t)=(H\ast F)(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau

există o soluție pentru ODE.

Pentru ecuații cu diferențe parțiale

Să existe o ecuație diferențială parțială neomogenă cu coeficienți constanți:

P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)

Unde

D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

Putem rezolva mai întâi EDO omogenă folosind următoarele metode. Toți pașii se fac formal, ignorând cerințele necesare pentru ca o soluție să fie clar definită.

În primul rând, utilizând transformata Fourier a lui x avem

P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).

unde este o EDO de ordinul m în t . Fie acesta coeficientul termenului de ordinul cel mai înalt în . $P(\partial _{t},\xi )$ $a_{m)$ $P(\partial _{t},\xi )$

Vom decide pentru fiecare $\xi$ $G(t,\xi )$

P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\ mbox{ pentru }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.

Să definim . Apoi $H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)$

P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)

este o funcție generică .

{\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau,\xi)F(t-\tau,\xi)\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau

este soluția ecuației (după întoarcerea la x ).

Note

↑ Integrală Poisson pentru ecuația de căldură neomogenă. Principiul lui Duhamel (link inaccesibil)