Principiul limitării uniforme

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Principiul mărginirii uniforme sau teorema Banach-Steinhaus este un rezultat fundamental al analizei funcționale . Teorema afirmă că mărginirea punctuală și uniformă sunt echivalente pentru familiile de operatori liniari continui dați pe un spațiu Banach .

Istorie

Teorema a fost demonstrată de Banach și Steinhaus și independent de Hans Hahn .

Formulare

Fie un spațiu Banach , un spațiu vectorial normat și o familie de operatori liniari continui de la până la . Să presupunem că pentru oricare $X$ $Y$ $F$ $X$ $Y$ $x\în X$

\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .

Apoi

\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\ |_{{\mathcal {L}}(X,Y)}<\infty .

Consecințele

Dacă o secvență de operatori mărginiți pe un spațiu Banach converge punctual, atunci limita sa punctuală este un operator mărginit.

Variații și generalizări

Spațiul baril este cel mai general tip de spații în care este îndeplinit principiul mărginirii uniforme.

Principiul mărginirii este valabil pentru familiile de mapări de la la dacă este un spațiu Baire și este un spațiu local convex . $X$ $Y,$ $X$ $Y$

Referințe

Banach, Stefan & Steinhaus, Hugo (1927), Sur le principe de la condensation de singularités , Fundamenta Mathematicae T. 9: 50–61 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918 .pdf > (fr.)
Bourbaki, Nicolas (1987), Spații vectoriale topologice , Elemente de matematică, Springer, ISBN 978-3-540-42338-6
Dieudonné, Jean (1970), Tratat de analiză, Volumul 2 , Presa Academică .
Rudin, Walter (1966), Analiza reală și complexă , McGraw-Hill .
Shtern, AI (2001), Teorema Banach–Steinhaus , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Sokal, Alan (2011), O demonstrație elementară cu adevărat simplă a teoremei mărginirii uniforme , Amer. Matematică. Lunar T. 118: 450-452 , DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .
Weinberg M. M. Analiză funcțională. - M .: Educaţie, 1979. - 128 p.