Opera lui Gromov

Produsul Gromov este distanța la care două geodezice care încep la un moment dat încep să diverge semnificativ.

Numit după Gromov .

Produsul Gromov este folosit, în special, pentru a defini o metrică pe granița absolută a unui spațiu metric.

Definiție

Fie fix punctul de bază al spațiului metric . Apoi, produsul Gromov (față de punctul ) de puncte și acest spațiu este valoarea $x\în X$ $(X,d)$ $X$ $y$ $z$

(y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).

Proprietăți

Produsul Gromov este nenegativ și simetric: $\forall x,y,z\in X\quad (y,z)_{x}=(z,y)_{x},\quad (y,z)_{x}\geq 0.$
Pentru cazul arborelui , este lungimea părții potrivite a căilor geodezice și . $(y,z)_{x}$ $[xy]$ $[xz]$
Pentru spațiile -hiperbolice , inegalitatea este valabilă. $\delta$ $(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

Literatură

E. Gies, P. De la Arp. Grupuri hiperbolice conform lui Mihail Gromov. — M .: Mir, 1992.