Derivat Fréchet

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 21 august 2013; verificările necesită 4 modificări .

Derivata Fréchet (derivată puternică) este o generalizare a conceptului de derivată la spații Banach cu dimensiuni infinite . Numele este dat în onoarea matematicianului francez Maurice Fréchet .

Definiție

Fie un operator care acționează dintr-un spațiu Banach real într-un spațiu Banach real . $F\colon X\rightarrow Y$ $X$ $Y$

Derivata Fréchet a unui operator într-un punct este un operator liniar mărginit, astfel încât următoarea egalitate este valabilă pentru oricare: $F$ $x\în X$ $A\colon X\rightarrow Y$ $h\in X$

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),$

iar relația este adevărată pentru restul termenului : $r_{0}(x,\;h)$

${\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\rightarrow 0$ la $\|h\|_{X}\rightarrow 0.$

Dacă derivata Fréchet există, atunci se spune că operatorul este puternic derivabil . Partea liniară a incrementului în acest caz se numește diferențială Fréchet a funcției . $F$ $Ah$ $F$

Se poate demonstra că derivatul Fréchet, atunci când există, este același cu derivatul Gateaux .

Proprietăți

Fie mapări ale spațiilor normate. Atunci derivata Fréchet satisface: $f,g:G\rightarrow Y$

$(f+g)'(\varphi )=f'(\varphi )+g'(\varphi )$
$(\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )$ , unde λ este un scalar din câmpul peste care sunt definite spațiile normate.
$(f\circ g)'(\varphi)=(f'\circ g)(\varphi)\,g'(\varphi)$ .

Vezi și

Literatură

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Control optim — Orice ediție.