Spațiul secvențelor pătrat-sumabile

Spațiul secvențelor pătrat-sumabile este un spațiu metric , unul dintre spațiile de bază ale secvențelor , este format din șiruri infinite de numere pentru care seria: $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$

\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2)

converge și unde distanța dintre două puncte este definită ca [1] : $\rho (x,y)$ $X y$

\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty}(x_{i}-y_{i})^{2)))

Notația standard este [1] . Singurul spațiu secvență care este spațiul Hilbert . $\ell ^{2}$ $\ell ^{p}$

Suma elementelor și înmulțirea cu un număr real sunt definite componente prin analogie cu spațiul euclidian :

{\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+ y_{i}\}_{i=1}^{\infty ))

, .

\lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty }

Produs scalar:

(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i)

Norma într-un astfel de spațiu este definită astfel:

\left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)))={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2} }}

Exemple:

sunt incluse șiruri infinite ale formei , deoarece seria converge; $x=(1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{3}),\dots ,{\frac {1}{n)),\dots )$ $\ell ^{2}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2)}}$
coeficienții seriei Fourier sunt astfel încât , ceea ce rezultă din inegalitatea lui Bessel . $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$ $({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots,a_{n},b_{n} ,\puncte )\în \ell ^{2}$

Orice spațiu euclidian este un subspațiu al spațiului , care decurge din posibilitatea de a-și reprezenta punctele sub forma . $\mathbb {R} ^{n}$ $\ell ^{2}$ $x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n},0,0,\dots )$

Mecanica cuantică a fost dezvoltată inițial sub forma a două teorii echivalente: mecanica matriceală a lui Heisenberg , folosind spațiul , și mecanica ondulatorie a lui Schrödinger , folosind spațiul Hilbert izomorf cu acesta [2] . $\ell ^{2}$ $L^{2}$

Spațiul se numește uneori spațiul Hilbert de coordonate [1] . $\ell ^{2}$

Vezi și

Spațiul secvențelor mărginite

Note

↑ 1 2 3 Sobolev V. I. Prelegeri pe capitole suplimentare de analiză matematică. - M., Nauka , 1968. - p. 32
↑ A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin . Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - M. : MGU, 1960. - T. II. Măsură, integrală Lebesgue, spațiu Hilbert. - S. 94-96.

Literatură

Vulikh BZ Introducere în analiza funcțională. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 p. - 7500 de exemplare.
spatiu Hilbert _