Teorema opusă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 septembrie 2017; verificările necesită 3 modificări .

O teoremă opusă este o afirmație în care condiția și concluzia teoremei originale sunt înlocuite cu negațiile lor . Fiecare teoremă poate fi exprimată sub forma unei implicații , în care premisa este condiția teoremei, iar consecința este concluzia teoremei. Atunci teorema scrisă în forma este opusă acesteia [1] . Aici este negația lui , este negația lui . Dovada necesității și suficienței condițiilor teoremei pentru încheierea acesteia se reduce la demonstrarea uneia dintre cele două teoreme opuse ( și ; și ) sau a uneia dintre cele două teoreme inverse ( și ; și ) [2] . $A\Rightarrow B$ $A$ $B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ $\overline {A}$ $A$ ${\overline {B}}$ $B$ $A$ $A\Rightarrow B$ $B$ $A\Rightarrow B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ $B\Rightarrow A$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$ $A\Rightarrow B$ $B\Rightarrow A$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$

Dacă condiția și/sau concluzia teoremei sunt propoziții complexe, atunci teorema opusă admite un set de formulări care nu sunt echivalente între ele. De exemplu, dacă condiția teoremei este , iar concluzia este : , atunci există cinci forme pentru teorema opusă: [3] $A$ $Y\Rightarrow Z$ $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$

${\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z))}$
${\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z))}$
${\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}$
$A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z))}$
$Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z))}$

Proprietăți

Teorema directă este echivalentă cu teorema opusă: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A})}$
Teorema inversă este echivalentă cu dreapta opusă: [1] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B))}$

Exemple

Teorema lui Pitagora poate fi formulată după cum urmează:

Dacă într-un triunghi cu laturile de lungime , iar unghiul opus laturii este drept, atunci . $A$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Teorema opusă teoremei lui Pitagora poate fi formulată după cum urmează:

Dacă într-un triunghi cu laturile de lungime , iar unghiul opus laturii nu este un unghi drept, atunci . $A$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}\neq c^{2)$

Vezi și

Teorema inversă

Note

↑ 1 2 Edelman, 1975 , p. 33.
↑ Edelman, 1975 , p. 34.
↑ Gradstein, 1965 , p. 94.

Literatură

Edelman S.L. Logica matematică. - M . : Şcoala superioară, 1975. - 176 p.
Gradshtein I.S. Teoreme directe și inverse. Elemente ale algebrei logicii. - M . : Nauka, 1965. - 127 p.