Descompunerea Schmidt

Descompunerea Schmidt este un anumit tip de expresie pentru un vector în produsul tensor al a două spații Hilbert . De fapt, este o reformulare a descompunerii valorii singulare pentru matrice .

Are numeroase aplicații în teoria informației cuantice , cum ar fi întanglementul . Numit după Erhard Schmidt .

Formulare

Fie și să fie spații Hilbert în dimensiuni și, respectiv. Să presupunem că . Apoi, pentru orice vector din produsul tensor, există seturi ortonormale de vectori și astfel încât $H_1$ $H_2$ $m$ $n$ $m\geq n$ $w$ $H_{1}\otimes H_{2)$ $\{u_{1},\ldots,u_{n}\}\subset H_{1)$ $\{v_{1},\ldots,v_{n}\}\subset H_{2)$

w=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i},

unde sunt numere reale nenegative. Mai mult decât atât, multisetul , este determinat în mod unic de . $\alpha_i$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots,\alpha _{n}\))$ $w$

Note

Mulțimile de vectori și se numesc baze Schmidt pentru . $\{u_{1},\ldots,u_{n}\}\subset H_{1)$ $\{v_{1},\ldots,v_{n}\}\subset H_{2)$ $w$
Numerele sunt numite coeficienți Schmidt pentru . ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots,\alpha _{n}\))$ $w$