Unire disjunctă

Unirea disjunctă (de asemenea, uniunea disjunctă sau suma disjunctă ) este o operație de unire a mulțimii modificată în teoria mulțimilor , care, în mod informal, constă în unirea „copiilor” disjunse ale mulțimilor. În special, unirea disjunctă a două mulțimi finite constând din și elemente va conține exact elemente, chiar dacă mulțimile înseși se intersectează. $A$ $b$ $a+b$

Definiție

Fie o familie de mulțimi listate după indici din . Atunci unirea disjunctă a acestei familii este set $\{A_i | eu \în eu\}$ $eu$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}

Elementele unei uniuni disjunctive sunt perechi ordonate . Astfel, există un index care arată din ce set elementul a intrat în unire. Fiecare dintre mulțimi este încorporat canonic în uniunea disjunctivă ca mulțime $(x, i)$ $i$ $A_{i}$ $A_{i}$

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

Pentru seturi și nu au elemente comune, chiar dacă . În cazul degenerat, când mulțimile sunt egale cu unele specifice , uniunea disjunctă este produsul cartezian al mulțimii și mulțimii , adică $\forall i, j \in I: i \neq j$ $A_i^*$ $A_j^*$ $A_i \cap A_j \neq \varnothing$ $A_i \forall i \in I$ $A$ $A$ $eu$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\time I.

Utilizare

Uneori veți vedea notația pentru unirea disjunctă a două mulțimi sau următoarele pentru o familie de mulțimi: $A+B$

\sum_{i\in I}A_i.

Această notație implică faptul că cardinalitatea uniunii disjunctive este egală cu suma cardinalităților mulțimilor din familie. Pentru comparație, produsul cartezian are o putere egală cu produsul puterilor.

În categoria mulțimilor, uniunea disjunctă este suma directă . Termenul de unire disjunctă este folosit și în relație cu unirea unei familii de mulțimi disjunse în perechi. În acest caz, uniunea disjunctă este desemnată ca uniunea obișnuită a mulțimilor , care coincide cu aceasta. Această notație se găsește adesea în informatică . Mai formal, dacă este o familie de seturi, atunci $C$

\bigcup_{A \in C} A

este o uniune disjunctă în sensul considerat mai sus dacă și numai dacă pentru oricare și din următoarea condiție este îndeplinită: $A$ $B$ $C$

A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.

Variații și generalizări

Dacă toate mulțimile unei uniuni disjunse sunt înzestrate cu o topologie, atunci uniunea disjunctă a spațiilor topologice (adică mulțimile dotate cu o topologie) are în sine o topologie naturală - cea mai puternică topologie, astfel încât fiecare includere este o hartă continuă . O unire disjunctă cu această topologie se numește unire disjunctă a spațiilor topologice.

Vezi și

Literatură

Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. Topologie generală. - M . : Liceu, 1979. - S. 132.
Spanier E. Topologie algebrică . - M . : Mir, 1971. - S. 9 .
Melnikov O. V. și colab.. Algebră generală: În 2 vol. T. 1. - M . : Nauka, 1990. - P. 13. - ISBN 5020144266 .