Produs direct

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Un produs direct sau cartezian a două mulțimi este o mulțime ale cărei elemente sunt toate perechile ordonate posibile de elemente ale mulțimilor originale.

Conceptul de produs direct se generalizează în mod natural la un produs de mulțimi cu o structură suplimentară ( algebrică , topologică și așa mai departe), deoarece produsul mulțimilor moștenește adesea structurile care erau prezente pe mulțimile originale.

Produs direct în teoria mulțimilor

Produsul a două seturi

Produsul mulțimii {at, u, k} prin mulțimea de culori a curcubeului

în	în	în	în	în	în	în	în
și	și	și	și	și	și	și	și
la	la	la	la	la	la	la	la

Lăsați două seturi și să fie date . Produsul direct al unei mulțimi și al unei mulțimi este o mulțime ale cărei elemente sunt perechi ordonate pentru toate posibilele și . O pereche ordonată formată din elemente și se scrie de obicei folosind paranteze: . Elementul se numește prima coordonată (componentă) a perechii , iar elementul se numește a doua coordonată (componentă) a perechii. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X \time Y$ $(X y)$ $x\în X$ $y\în Y$ $A$ $b$ $(a,b)$ $A$ $b$

Produsul direct a două seturi poate fi vizualizat ca un tabel, ale cărui rânduri definesc elementele primului set, respectiv coloanele celui de-al doilea. Toate celulele acestui tabel în acest caz vor fi elemente ale produsului cartezian.

Cuvântul „ordonat” înseamnă că pentru , . Astfel, perechile și sunt egale dacă și numai dacă și . $x\ney$ $(x,y)\neq (y,x)$ $(a,b)$ $(c,d)$ $a=c$ $b=d$

Importanța „ordinei” poate fi ilustrată prin exemplul notării obișnuite a numerelor: folosind două cifre 3 și 5, puteți scrie patru numere din două cifre: 35, 53, 33 și 55. În ciuda faptului că numerele 35 și 53 sunt scrise folosind aceleași numere, aceste numere sunt diferite. În cazul în care ordinea elementelor este importantă, în matematică se vorbește de mulțimi ordonate de elemente.

Într-o pereche ordonată , poate fi că . Deci, scrierea numerelor 33 și 55 poate fi considerată ca perechi ordonate (3; 3) și (5; 5). $(a,b)$ $a=b$

Mapările produsului mulţimilor în factorii săi - şi - se numesc funcţii de coordonate . $\varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x$ $\psi\colon X\time Y\to Y,\; \psi(x,y)=y$

Produsul unei familii finite de mulțimi este definit în mod similar.

Comentarii

Strict vorbind, identitatea de asociativitate nu este valabilă, dar datorită existenței unei corespondențe naturale unu-la-unu (bijecție) între mulțimi , această diferență poate fi adesea neglijată. $A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$ $A \times (B\times C)$ $(A \times B) \times C$

Grad cartezian

{0, 1, 2} 3 , 3 3 = 27 elemente
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$n$ Puterea --a carteziană a unei mulțimi este definită pentru numere întregi nenegative ca produsul cartezian de -fold cu sine [1] : $X$ $n$ $n$ $X$

\begin{matrice} \underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. \\ n \end{matrice}

De obicei notat ca sau . $X^n$ $X^{\times n}$

Când este pozitiv, gradul cartezian este format din toate seturile ordonate de elemente de lungime . Deci, spațiul real - mulțimea de tupluri a trei numere reale - este a treia putere a mulțimii de numere reale $n$ $X^n$ $X$ $n$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb{R}.$

Când , un grad cartezian prin definiție, conține un singur element - un tuplu gol. $n=0$ $X^0,$

Produsul direct al unei familii de seturi

În general, pentru o familie arbitrară de mulțimi (nu neapărat diferite) ( mulțimea de indici poate fi infinită ), produsul direct este definit ca mulțime de funcții care atribuie fiecare element unui element al mulțimii : $\{X_i\}_{i\în I}$ $X = \prod_{i\in I} X_i$ $i\în eu$ $X_{i}$

X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\la \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\în I\}.

Mapările se numesc proiecții și sunt definite după cum urmează: . $\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)$ $\pi_i\colon (a_1,\dots a_n) \mapsto a_i$

În special, pentru o familie finită de mulțimi, orice funcție cu o condiție este echivalentă cu un tuplu de lungime , compus din elemente ale mulțimilor , astfel încât locul i al tuplului este elementul mulțimii . Prin urmare, produsul cartezian (direct) al unui număr finit de mulțimi poate fi scris după cum urmează: $\{A_1, \dots ,A_n\}$ $f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i$ $f(i) \în A_i$ $n$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$ $i$ $A_{i}$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\}.

Produsul direct al cartografiilor

Fie o mapare de la la , și fie o mapare de la la . Produsul lor direct este o mapare de la la : . $f$ $A$ $B$ $g$ $X$ $Y$ $f\ori g$ $A\x ori X$ $B\ ori Y$ $(f\times g)(a,\;x) = (f(a),\;g(x))$

Similar cu cele de mai sus, această definiție poate fi generalizată la produse multiple și infinite.

Efecte asupra structurilor matematice

Produsul direct al grupurilor

Produsul direct (cartezian) a două grupe și este grupul tuturor perechilor de elemente cu operația de înmulțire pe componente: . Acest grup este denumit . Asociativitatea operației de înmulțire într-un grup decurge din asociativitatea operațiilor de grupări înmulțite. Factori și sunt izomorfe la două subgrupuri normale ale produsului lor și , respectiv. Intersecția acestor subgrupuri constă dintr-un element , care este unitatea grupului de produse. Funcțiile de coordonate ale produsului de grupuri sunt homomorfisme . $(G*)$ $(H,\circ)$ $(g,h)$ $(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)$ $G\ ori H$ $G\ ori H$ $G$ $H$ $\{(g,1_H)\mid g\in G\}$ $\{(1_G,h)\mid h\in H\}$ $(1_G,1_H)$

Această definiție se extinde la un număr arbitrar de grupuri multiplicate. În cazul unui număr finit, produsul direct este izomorf cu suma directă. Diferența apare la un număr infinit de factori.

În general, , unde și . (Operația din partea dreaptă este operația de grup ). Unitatea grupului de produse va fi o secvență compusă din unitățile tuturor grupelor înmulțite: . De exemplu, pentru un număr numărabil de grupuri: , unde în partea dreaptă este mulțimea tuturor secvențelor binare infinite. $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ $f(i)\isin G_i$ $(f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ $G_{i}$ $(1_i),\; i\în eu$ $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$

Un subgrup din mulțimea tuturor al căror suport (adică mulțimea ) este finit se numește sumă directă . De exemplu, suma directă a aceluiași set de mulțimi conține toate secvențele binare cu un număr finit de unități și pot fi tratate ca reprezentări binare ale numerelor naturale. $f$ $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\în I\mid f(i)\ne 1_i\}$ $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$

Produsul cartezian al unui sistem de grup indexat este produsul său direct din categoria Grp.

Suma directă a unui sistem de grup indexat este coprodusul acestuia din categoria Grp.

Produsul direct al altor structuri algebrice

În mod similar cu produsul de grupuri, se pot defini produsele inelelor , algebrelor , modulelor și spațiilor liniare , iar în definiția produsului direct (vezi mai sus) ar trebui înlocuit cu zero . Definiția unui produs a două (sau a unui număr finit de) obiecte este aceeași cu cea a unei sume directe . Totuși, în general, suma directă diferă de produsul direct: de exemplu, produsul direct al unui set numărabil de copii este spațiul tuturor secvențelor de numere reale , în timp ce suma directă este spațiul acelor secvențe care au doar un număr finit de membri non-zero (așa-numitele secvențe finite ). $1_i$ $\mathbb {R}$

Produsul direct al spațiilor vectoriale

Produsul cartezian a două spații vectoriale și peste un câmp comun este o mulțime de perechi ordonate de vectori , adică un produs cartezian teoretic al mulțimilor de vectori din și , cu liniaritatea dată în coordonate: , . $U\time V$ $U$ $V$ $F$ $\left\{(u,v)\mid u\in U\wedge v\in V\right\)$ $U$ $V$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $\mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)$

Această definiție se aplică oricărui sistem indexat de spații liniare (vectorale): produsul cartezian al unui sistem indexat de spații vectoriale peste un câmp comun este produsul cartezian teoretic al mulțimilor de vectori factori, pe care este specificată liniaritatea în funcție de coordonate, adică la însumare, toate proiecțiile sunt însumate, când se înmulțesc cu un număr toate proiecțiile se înmulțesc cu acest număr: , . $c=a+b\leftrightarrow\forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i)$ $b=\mathrm {\alpha} a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i)$

Produsul cartezian al unui sistem indexat de spații liniare este produsul său direct în categoria , unde există un câmp subiect al sistemului. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

Suma directă a spațiilor vectoriale este o astfel de submulțime a produsului lor direct, ale cărui elemente au doar un număr finit de proiecții diferite de zero , unde este setul de indici al sistemului indexat . Pentru un număr finit de termeni, suma directă nu diferă de produsul direct. $\coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operatorname {dom} A\mid a_{i}\neq 0\ dreapta\}\right\vert <\aleph _{0}\right\}$ $\operatorname {dom} A$ $A$

Suma directă a unui sistem indexat de spații liniare este coprodusul său în categoria , unde există un câmp subiect al sistemului. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

Produsul direct al spațiilor topologice

Fie și două spații topologice . Topologia produsului cartezian este dată pe produsul lor teoretic, ca mulțimi fără structură, de baza constând din toate produsele posibile , unde este o submulțime deschisă și este o submulțime deschisă a lui . $X$ $Y$ $X\ ori Y$ $U\ ori V$ $U$ $X$ $V$ $Y$

Definiția se generalizează cu ușurință în cazul unui produs al mai multor spații.

Pentru produsul unui set infinit de factori, definiția devine mai complicată: să existe un sistem indexat de spații topologice, - un produs fără structură de elemente ca mulțimi. Să definim un cilindru ridicat peste ca mulțimea tuturor punctelor din ale căror proiecții --a se află în , adică unde și este setul de indici al sistemului indexat . Topologia produsului va fi dată pe o prebază de cilindri construită peste toate seturile deschise ale tuturor topologiilor din mulțimea : , unde este colecția tuturor mulțimilor deschise (topologia) spațiului , adică să fie dată de o bază compusă din toate intersecțiile posibile ale unui număr finit de cilindri deschisi. Această topologie este indusă „contravariant” de către proiectoare - este topologia minimă pe produsul cartezian teoretic multime pentru care toate proiectoarele sunt continue (o astfel de topologie este similară cu topologia compact-deschisă a spațiilor de mapare dacă luăm în considerare indexul setat la au o topologie discretă). $X$ $B=\prod {\overline {X}}$ $X$ $U\subseteq X_{i}$ $B$ $i$ $U$ $\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)=\left\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}$ $i\in \operatorname {dom} X$ $\operatorname {dom} X$ $X$ $X$ $\left\{\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)\mid i\in \operatorname {dom} X\land U\in \operatorname {T} \left(X_{i }\corect corect\}$ $\operatorname {T} \left(X_{i}\right)$ $X_{i}$ $eu$

Produsul cartezian al unui sistem indexat de spații topologice este produsul său direct în categoria . $\operatorname {Sus}$

Suma directă a topologiilor este construită pe suma directă fără structură a spațiilor ca seturi de puncte. Deschise în el sunt toate mulțimile ale căror intersecții cu toți termenii sunt deschise. Această topologie este indusă „covariant” de către coproiectori - este topologia maximă pe suma directă teoretică a mulțimii sub care toți coproiectorii (adică, înglobările de termeni în sumă) sunt continui.

Suma directă a unui sistem indexat de spații topologice este coprodusul său în categoria . $\operatorname {Sus}$

Teorema lui Tikhonov afirmă compactitatea produselor din orice număr de spații compacte; totuși, pentru produse infinite, nu poate fi dovedit fără a folosi axioma alegerii (sau afirmații ale teoriei mulțimilor echivalente cu aceasta).

De asemenea, teorema lui Aleksandrov arată că orice spațiu topologic poate fi încorporat într-un produs (infinit) de două puncte conectate , atâta timp cât este valabilă axioma lui Kolmogorov .

Produsul direct al graficelor

	—	
	—	
		
	—	

Mulțimea vârfurilor produsului direct a două grafice și este definită ca produsul vârfurilor graficelor factorilor. Muchiile vor conecta următoarele perechi de vârfuri: $G$ $H$

$(g,\;h)(g',\;h)$ , unde și sunt vârfurile graficului conectate printr-o muchie și este un vârf arbitrar al graficului ; $g$ $g'$ $G$ $h$ $H$
$(g,\;h)(g,\;h')$ , unde este un vârf arbitrar al graficului și și sunt vârfurile graficului conectate printr-o muchie . $g$ $G$ $h$ $h'$ $H$

Cu alte cuvinte, mulțimea muchiilor unui produs de grafice este unirea a două produse: muchiile primului cu vârfurile celui de-al doilea și vârfurile primului cu muchiile celui de-al doilea.

Variații și generalizări

Ideea unui produs direct a fost dezvoltată în continuare în teoria categoriilor , unde a servit drept bază pentru conceptul de produs al obiectelor . În mod informal, produsul a două obiecte și este obiectul cel mai general din această categorie pentru care există proiecții pe și . În multe categorii (mulțimi, grupuri, grafice, ...) produsul obiectelor este produsul lor direct. Este important ca, în majoritatea cazurilor, nu atât definiția concretă a produsului direct este importantă, cât proprietatea de universalitate menționată mai sus. Diferite definiții vor da apoi obiecte izomorfe . $A$ $B$ $A$ $B$