Dezvăluirea incertitudinilor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Dezvăluirea incertitudinii - metode de calcul a limitelor funcțiilor date prin formule, care, ca urmare a înlocuirii formale a valorilor limită ale argumentului din ele, își pierd sensul, adică se transformă în expresii precum:

\left(\infty -\infty \right)

\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)

\left({\frac {0}{0}}\right)

\left(0\cdot \infty \right)

\left(0^{0}\right)

\left(\infty ^{0}\right)

\left(1^{\infty}\right)

(Aici este o valoare infinit de mică , este o valoare infinit de mare , 1 este o expresie infinit apropiată de numărul 1) ${\textstyle 0}$ $\infty$

prin care este imposibil de judecat dacă limitele dorite există sau nu, ca să nu mai vorbim de găsirea valorilor lor, dacă există.

Cea mai puternică metodă este regula lui L'Hopital , cu toate acestea, nu permite calcularea limitei în toate cazurile . În plus, este direct aplicabil numai celui de-al doilea și al treilea dintre tipurile de incertitudini enumerate, adică relațiile, iar pentru a dezvălui alte tipuri, acestea trebuie mai întâi reduse la unul dintre acestea.

De asemenea, pentru a calcula limitele, extinderea expresiilor incluse în incertitudinea studiată este adesea folosită într- o serie Taylor în vecinătatea punctului limită . Pentru a releva incertitudinile tipurilor , , folosesc următoarea metodă: găsesc limita logaritmului (natural) al expresiei care conține incertitudinea dată. Ca urmare, tipul de incertitudine se schimbă. După găsirea limitei , se ia exponentul din aceasta . $\left(~0^{0}\dreapta)$ $\left(1^{\infty }\dreapta)$ $\left(\infty ^{0}\right)$

\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )} \dreapta)

\left(~1^{\infty}\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1))\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\ dreapta)

\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\ dreapta)

Următorul algoritm este utilizat pentru a rezolva ambiguitățile de tip : ${\frac {\infty }{\infty ))$

Identificarea celui mai înalt grad al unei variabile;
Împărțiți la această variabilă atât numărătorul, cât și numitorul.

Pentru a rezolva ambiguitățile de tip, există următorul algoritm: $\left({\frac {0}{0}}\right)$

Factorizarea numărătorului și numitorului;
Reducerea fracțiilor.

Pentru a rezolva ambiguitățile de tip, uneori este convenabil să aplicați următoarea transformare: $(\infty -\infty )$

Lasă și ;

f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty

g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty

\lim _{{x\to a}}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{{x\to a}}\left({\frac {1 }{{\frac {1}{f(x)}}}}-{\frac {1}{{\frac {1}{g(x)))}}\right)=\lim _{{x \to a}}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)))}{{\frac {1}{g(x)} }\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)

Acest tip de incertitudine poate fi rezolvat folosind expansiuni asimptotice ale minuendului și subtraendului, în timp ce termenii infinit de mari de același ordin trebuie eliminați.

Limitele remarcabile și consecințele lor se aplică și atunci când se descoperă incertitudinile .

Exemplu

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}},a>0$ este un exemplu [1] de incertitudine a formei . Conform regulii lui L'Hopital . A doua modalitate este de a adăuga și scădea în numărător și de a aplica teorema Lagrange de două ori , la funcțiile și respectiv: $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x }\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$ $a^{a}$ $a^{x}$ $x^{a}$

${\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{ a})}{xa))={\frac {a^{c}\ln a(xa)-ad^{a-1}(xa)}{xa}}=a^{c}\ln a- ad^{a-1}$

aici c, d se află între a și x, deci tind spre a, așa cum x tinde către a, deci obținem aceeași limită ca în prima metodă.

Note

↑ Demidovich B.P. Problema nr. 1358 // Culegere de probleme și exerciții de analiză matematică. - Ed. a VII-a. - M . : Nauka , 1969. - S. 136.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Nou