Funcție (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 iunie 2022; verificările necesită 4 modificări .

O funcție în matematică este o corespondență între elementele a două mulțimi  - o regulă conform căreia fiecărui element din prima mulțime, numit domeniul de definiție , corespunde unuia și numai unui element al celei de-a doua mulțimi, numit interval de valori .

Conceptul matematic al unei funcții exprimă o idee intuitivă a modului în care o cantitate determină complet valoarea unei alte mărimi. Deci, valoarea variabilei determină în mod unic valoarea expresiei , iar valoarea lunii determină în mod unic valoarea lunii următoare. Un exemplu „de zi cu zi” de funcție: fiecare persoană poate fi atribuită fără echivoc tatălui său biologic.

În mod similar, un algoritm predeterminat , dată fiind valoarea datelor de intrare, produce valoarea datelor de ieșire.

Adesea, termenul „funcție” se referă la o funcție numerică , adică la o funcție care pune unele numere în linie cu altele. Aceste funcții sunt reprezentate convenabil sub formă de grafice .

Istorie

Termenul „funcție” (într-un sens oarecum mai restrâns) a fost folosit pentru prima dată de Leibniz (1692). La rândul său, Johann Bernoulli, într-o scrisoare către Leibniz, a dat acestui termen un sens mai apropiat de cel modern [1] [2] .

Inițial, conceptul de funcție nu se distingea de conceptul de reprezentare analitică. Ulterior, a apărut definiția unei funcții, dată de Euler (1751), apoi de Lacroix (1806), aproape în forma ei modernă. În fine, o definiție generală a unei funcții (în forma sa modernă, dar numai pentru funcții numerice) a fost dată de Lobachevsky (1834) și Dirichlet (1837) [3] .

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, conceptul de funcție a depășit sfera sistemelor numerice. În primul rând, conceptul de funcție a fost extins la funcțiile vectoriale , Frege a introdus curând funcțiile logice ( 1879 ), iar după apariția teoriei mulțimilor, Dedekind ( 1887 ) și Peano ( 1911 ) au formulat o definiție universală modernă [2] .

Definiție informală

O funcție definită pe o mulțime cu valori în mulțime se numește o „regulă”, astfel încât fiecare element de la să corespundă unui element aflat în interior și, în plus, doar unul [4] .

Notare acceptată: , , prescurtat sau simplu .

Un grafic se numește , unde este un produs direct al .

În general, conceptele unei funcții și ale graficului acesteia sunt echivalente și, întrucât acesta din urmă este definit matematic mai strict, definiția formală (din punctul de vedere al teoriei mulțimilor) a unei funcții este graficul acesteia [4] .

Pentru functie :

Note:

Funcții multiple de argument:

În general, o funcție poate fi definită pe un spațiu liniar , caz în care avem de-a face cu o funcție de mai multe argumente.

Dacă mulțimea este un produs cartezian al mulțimilor , atunci maparea (unde este mulțimea numerelor reale) se dovedește a fi o mapare -loc; în acest caz, elementele mulțimii ordonate se numesc argumente (ale unei funcții -locale date), fiecare dintre ele rulând prin propria sa mulțime:

unde .

În acest caz, notația înseamnă că .

Modalități de a defini o funcție

Metodă analitică

O funcție poate fi definită folosind o expresie analitică (de exemplu, o formulă). În acest caz, este notat ca o corespondență sub formă de egalitate.

Exemple:

O funcție dată de o singură formulă:

Funcție definită pe bucăți:

Funcție definită implicit:

Mod grafic

Funcția poate fi specificată și folosind un grafic. Fie  o funcție reală a variabilelor. Atunci graficul său este un set de puncte din spațiul -dimensional: . Acest set de puncte este adesea o hipersuprafață . În special, când graficul unei funcții în unele cazuri poate fi reprezentat printr-o curbă în spațiu bidimensional.

Pentru funcțiile cu trei sau mai multe argumente, o astfel de reprezentare grafică nu este aplicabilă. Cu toate acestea, chiar și pentru astfel de funcții, se poate veni cu o reprezentare vizuală semi-geometrică (de exemplu, fiecare valoare a celei de-a patra coordonate a unui punct poate fi asociată cu o anumită culoare pe grafic, așa cum se întâmplă pe graficele funcțiilor complexe. ).

Enumerarea valorilor

O funcție pe o mulțime finită poate fi definită printr-un tabel de valori - prin indicarea directă a valorilor sale pentru fiecare dintre elementele domeniului de definiție. Această metodă este folosită, de exemplu, pentru a defini funcțiile booleene . De fapt, această metodă este și o sarcină a graficului funcției , dacă graficul funcției este considerat ca un set de perechi ordonate de forma .

Proprietăți generale

Compoziția mapărilor

Să fie date două mapări astfel încât setul de valori al primei să fie un subset al domeniului celui de-al doilea. Apoi, acțiunea succesivă a primei și celei de-a doua mapări asupra oricărui argument al primei mapări se potrivește în mod unic cu un element din intervalul celei de-a doua mapări:

Într-un astfel de caz, se numește compoziție de mapări și , este notat printr-o expresie care se citește „ după ”. În general, compoziția este necomutativă : or

Injectare

O funcție se numește injectivă (sau pur și simplu injecție ) dacă oricare două elemente diferite din mulțime sunt, de asemenea, asociate cu elemente diferite (inegale) din mulțime . Mai formal, o funcție este injectivă dacă de la . Cu alte cuvinte, este injectiv dacă .

Surjection

O funcție se numește surjectivă (sau pur și simplu surjecție ) dacă fiecare element al mulțimii poate fi asociat cu cel puțin un element al mulțimii . Adică, o funcție este surjectivă dacă .

O astfel de mapare se mai numește și mapare set - to - set . Dacă condiția de surjectivitate este încălcată, atunci o astfel de mapare se numește mapare set - to - set .

Bijection

O funcție care este atât surjectivă, cât și injectivă se numește bijectivă sau unu-la-unu ( bijecție pe scurt ).

Funcția inversă

Dacă funcția este o bijecție , atunci există pentru care .

Funcția în acest caz se numește inversul lui ; mai mult decat atat, este si bijectiva.

Explicaţie:

Întrucât este o injecție, în general o funcție, din surjecție rezultă că se administrează pe . O funcție este injectivă deoarece este o funcție, iar surjectivitatea ei decurge din definiția ei.


În general, o mapare care are un invers se spune că este inversabilă . Proprietatea de reversibilitate constă în îndeplinirea simultană a două condiţii: şi .

Contracția și continuarea funcției

Să fie dată o mapare și o mulțime care este un subset strict al mulțimii

O mapare care ia aceleași valori ca și funcția se numește restricție (sau altfel restricție ) a funcției la mulțime .

Restricția unei funcții la o mulțime se notează ca .

În acest caz, funcția originală , dimpotrivă, se numește extinderea funcției la mulțime .

Imagine și prototip

Imagine și preimagine (atunci când sunt afișate), valoarea la punctul

Elementul care este mapat la element se numește imaginea elementului (punct) (când este afișat ) sau valoarea afișată în punctul .

Dacă luăm întregul submult al zonei de definire a funcției , atunci setul de imagini ale tuturor elementelor acestui set, adică submulțimea zonei valorice (funcția ) a formei

,

se numește imaginea mulțimii sub cartografiere . Acest set este uneori notat ca sau .

Imaginea întregului domeniu al unei funcții se numește imaginea funcției sau, dacă funcția este o suprajecție , se numește în general intervalul funcției .

Și, invers, luând un subset în intervalul de valori ale funcției , putem lua în considerare mulțimea tuturor elementelor din zona de setare a funcției , ale căror imagini se încadrează în mulțime , adică setul de forma

,

care se numește imaginea inversă ( completă ) a setului (atunci când este mapată ).

În special, atunci când mulțimea constă dintr-un singur element - să zicem, - atunci mulțimea are o notație mai simplă .

Proprietăți ale imaginilor și prototipurilor

Proprietăți imagine

Fie și să  fie subseturi ale domeniului de setare a funcției . Apoi imaginile seturilor și sub cartografiere au următoarele proprietăți:

  • ;
  • ;
  • .
  • imaginea uniunii mulțimilor este egală cu uniunea imaginilor:
  • imaginea intersecției mulțimilor este o submulțime a intersecției imaginilor: .

Ultimele două proprietăți pot fi generalizate la orice număr de mulțimi.

Dacă maparea este inversabilă (vezi mai sus ), atunci imaginea inversă a fiecărui punct al intervalului este de un punct, deci pentru mapările inversabile, următoarea proprietate puternică pentru intersecții este valabilă:

  • imaginea intersectiei este egala cu intersectia imaginilor: .
Proprietățile prototipurilor

Fie și să  fie submulțimi ale mulțimii . Atunci imaginile inverse ale mulțimilor și sub mapare au următoarele două proprietăți evidente:

  • Preimaginea de unire este egală cu uniunea de preimagini: ;
  • Imaginea inversă a intersecției este egală cu intersecția preimaginilor: .

Aceste proprietăți pot fi generalizate la orice număr de mulțimi.

Comportament

Crescător și descendent

Fie dată o funcție Atunci

  • o funcţie se numeşte nedescrescătoare pe dacă
  • o funcție se numește necrescătoare pe dacă
  • o functie se numeste crescand cu daca
  • o functie se numeste descrescatoare cu daca

Funcțiile necrescătoare și nedescrescătoare sunt numite ( nestrict ) monotone , în timp ce funcțiile crescătoare și descrescătoare sunt numite strict monotone . Pentru o funcție arbitrară, se pot găsi intervale de monotonitate - submulțimi ale domeniului pe care funcția este într-un fel sau altul (serictitudinea este aleasă în majoritatea cazurilor prin acord) este monotonă.

Periodicitate

O funcție se numește periodică cu o perioadă dacă egalitatea

.

Deoarece o funcție care este periodică cu o perioadă este și periodică cu perioade de forma , atunci, în general, cea mai mică perioadă a funcției.

Dacă această egalitate nu este satisfăcută pentru niciunul , atunci funcția se numește aperiodic .

Paritate

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
  • O funcție este numită chiar dacă egalitatea
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa y.

Funcția extrema

Fie dată o funcție și un punct un punct  interior al zonei de activitate Apoi

  • se numește punct maxim local dacă există o vecinătate a punctului astfel încât
  • se numește punct minim local dacă există o vecinătate a punctului astfel încât

Funcții în teoria mulțimilor

În funcție de natura zonei de referință și a zonei valorice, se disting următoarele cazuri de zone:

  1. multimi abstracte - multimi fara nicio structura suplimentara;
  2. mulţimi care sunt înzestrate cu o oarecare structură.

În cazul 1 , mapările sunt considerate în forma cea mai generală și întrebările cele mai generale sunt rezolvate - de exemplu, despre compararea mulțimilor în termeni de cardinalitate : dacă există o mapare unu-la-unu (bijecție) între două mulțimi, atunci acestea multimile se numesc echivalente sau echivalente . Acest lucru ne permite să clasificăm mulțimile în funcție de cardinalitățile lor, iar cele mai mici dintre ele, în ordinea crescătoare, sunt după cum urmează:

Astfel, se obțin următoarele tipuri de mapări - în funcție de puterea domeniului de definiție:

  • funcțiile finite sunt mapări ale mulțimilor finite;
  • secvențe  — o mapare a unui set numărabil într-o mulțime arbitrară;
  • Funcțiile continuum sunt mapări ale mulțimilor nenumărabile în mulțimi finite, numărabile sau nenumărabile.

În cazul 2 , obiectul principal de luat în considerare este structura dată pe mulțime (unde elementele mulțimii sunt înzestrate cu unele proprietăți suplimentare care leagă aceste elemente, de exemplu, în grupuri , inele , spații liniare ) și ce se întâmplă cu aceasta. structura în timpul mapării: dacă cu o mapare unu-la-unu, proprietățile unei structuri date sunt păstrate, atunci spunem că se stabilește un izomorfism între cele două structuri . Astfel, structurile izomorfe date în seturi diferite, în general, nu pot fi distinse, de aceea în matematică se obișnuiește să se spună că o structură dată este considerată „până la izomorfism ”.

Există o mare varietate de structuri care pot fi definite pe seturi. Aceasta include:

Funcțiile cu o anumită proprietate pot să nu existe pe acele mulțimi care nu au structura corespunzătoare. De exemplu, pentru a formula o astfel de proprietate ca continuitatea unei funcții definite pe o mulțime, trebuie să definiți o structură topologică pe această mulțime .

Variații și generalizări

Funcții parțial definite

O funcție parțial definită de la un set la un set este o funcție cu o zonă de activitate .

Unii autori pot înțelege prin funcția în sine doar îngustarea acesteia, astfel încât funcția este definită în întregime pe domeniul „îngustat” al definiției. Acest lucru are avantajele sale: de exemplu, este posibil să scrieți , unde - în acest caz, înseamnă .

Funcții cu mai multe valori

O valoare de argument dat trebuie să se potrivească exact cu o valoare a funcției, datorită definiției funcției în sine. Dar, în ciuda acestui fapt, se pot întâlni adesea așa-numitele funcții cu mai multe valori . De fapt, aceasta nu este altceva decât o notație convenabilă pentru o funcție al cărei interval este ea însăși o familie de mulțimi.

Fie , unde  este o familie de submulțimi ale mulțimii . Apoi va exista un set pentru fiecare .

O funcție este cu o singură valoare dacă fiecare valoare a argumentului corespunde unei singure valori a funcției. O funcție este multivalorică dacă cel puțin o valoare a argumentului corespunde la două sau mai multe valori ale funcției [5] .

Vezi și

Note

  1. V. A. Zorich . Capitolul I. Câteva concepte matematice generale și notație. § 3. Funcţia // Analiză matematică. Partea I. - a patra, corectată. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
  2. 1 2 Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra și începuturile analizei. Manual pentru clasele 10-11 de liceu. - M., Educație, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . — C. 86-87
  3. G. E. Shilov . Capitolul 2. Elemente de teoria multimilor. § 2.8. Conceptul general de funcție. Grafic // Analiză matematică (funcțiile unei variabile). - M. : Nauka, 1969. - S. 69. - 528 p.
  4. 1 2 V. A. Zorich . Capitolul I. Câteva concepte matematice generale și notație. § 3. Funcţia // Analiză matematică. Partea I. - a patra, corectată. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
  5. G. Korn, T. Korn. Manual de matematică. Pentru oameni de știință și ingineri. M., 1973 Capitolul 4. Funcții și limite, calcul diferențial și integral. 4.2. Funcții. 4.2-2. Funcții cu proprietăți speciale . ( a ), p.99. . Data accesului: 26 ianuarie 2012. Arhivat din original la 19 ianuarie 2015.

Literatură