Funcție (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 iunie 2022; verificările necesită 4 modificări .

O funcție în matematică este o corespondență între elementele a două mulțimi - o regulă conform căreia fiecărui element din prima mulțime, numit domeniul de definiție , corespunde unuia și numai unui element al celei de-a doua mulțimi, numit interval de valori .

Conceptul matematic al unei funcții exprimă o idee intuitivă a modului în care o cantitate determină complet valoarea unei alte mărimi. Deci, valoarea variabilei determină în mod unic valoarea expresiei , iar valoarea lunii determină în mod unic valoarea lunii următoare. Un exemplu „de zi cu zi” de funcție: fiecare persoană poate fi atribuită fără echivoc tatălui său biologic. $X$ $x^{2}$

În mod similar, un algoritm predeterminat , dată fiind valoarea datelor de intrare, produce valoarea datelor de ieșire.

Adesea, termenul „funcție” se referă la o funcție numerică , adică la o funcție care pune unele numere în linie cu altele. Aceste funcții sunt reprezentate convenabil sub formă de grafice .

Istorie

Termenul „funcție” (într-un sens oarecum mai restrâns) a fost folosit pentru prima dată de Leibniz (1692). La rândul său, Johann Bernoulli, într-o scrisoare către Leibniz, a dat acestui termen un sens mai apropiat de cel modern [1] [2] .

Inițial, conceptul de funcție nu se distingea de conceptul de reprezentare analitică. Ulterior, a apărut definiția unei funcții, dată de Euler (1751), apoi de Lacroix (1806), aproape în forma ei modernă. În fine, o definiție generală a unei funcții (în forma sa modernă, dar numai pentru funcții numerice) a fost dată de Lobachevsky (1834) și Dirichlet (1837) [3] .

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, conceptul de funcție a depășit sfera sistemelor numerice. În primul rând, conceptul de funcție a fost extins la funcțiile vectoriale , Frege a introdus curând funcțiile logice ( 1879 ), iar după apariția teoriei mulțimilor, Dedekind ( 1887 ) și Peano ( 1911 ) au formulat o definiție universală modernă [2] .

Definiție informală

O funcție definită pe o mulțime cu valori în mulțime se numește o „regulă”, astfel încât fiecare element de la să corespundă unui element aflat în interior și, în plus, doar unul [4] . $f$ $X$ $Y$ $X$ $X$ $f(x)$ $Y$

Notare acceptată: , , prescurtat sau simplu . $f:X\la Y$ $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$ $f\colon x\mapsto y$ $y=f(x)$

Un grafic se numește , unde este un produs direct al . $f:X\la Y$ $\Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\in X\time Y\mid x\in X\,\)$ $X\ ori Y$

În general, conceptele unei funcții și ale graficului acesteia sunt echivalente și, întrucât acesta din urmă este definit matematic mai strict, definiția formală (din punctul de vedere al teoriei mulțimilor) a unei funcții este graficul acesteia [4] .

Pentru functie : $f:X\la Y$

setul se numeste zona de sarcini sau zona de definire a functiei , notata cu sau ; $X$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$
mulţimea se numeşte intervalul funcţiei, notat cu sau ( ); $Y$ $E(f)$ $\mathrm {cod} \,f$ $\mathrm {a alergat} \,f$
fiecare element al multimii se numeste variabila independenta sau argument functie ; $X$ $X$

elementul corespunzător elementului fix se numește valoarea parțială a funcției în punctul . $y=f(x)$ $X$ $X$

Note:

O funcție pentru care se numește o mapare a unei mulțimi date în sine sau o transformare , în special, dacă , atunci se vorbește despre o transformare identică , notată adesea cu . $f$ $D(f)\equiv E(f)$ $\forall x\in D(f):f(x)=x$ $\operatorname{id}_X$

Dacă se folosește termenul operator , atunci se spune că operatorul acționează de la set la set și se adaugă o înregistrare . $f$ $X$ $Y$ $y=fx$
Dacă vor să sublinieze că regula de corespondență este considerată cunoscută, atunci ei spun că pe mulțime este dată o funcție care ia valori din . Dacă funcția trebuie găsită ca urmare a rezolvării unei ecuații, atunci ei spun că este o funcție necunoscută sau dată implicit. În acest caz, funcția este încă considerată dată, deși indirect. $X$ $f$ $Y$ $f$ $f$
Deoarece egalitatea funcțiilor (în oricare dintre definițiile sale) include nu numai coincidența regulilor de corespondență între elementele mulțimilor, ci și coincidența zonelor de sarcini, atunci funcțiile și , unde este mulțimea numerelor reale și este mulțimea numerelor reale pozitive, sunt funcții diferite. $f_{1}(x)=x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{2}(x)=x\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}$
Există, de asemenea, o notație de operator pentru o funcție , care poate fi găsită în algebra generală . $y=x^{f}$
Calculul lambda al lui Church folosește notația pentru o funcție . $\lambda xy$

Funcții multiple de argument:

În general, o funcție poate fi definită pe un spațiu liniar , caz în care avem de-a face cu o funcție de mai multe argumente.

Dacă mulțimea este un produs cartezian al mulțimilor , atunci maparea (unde este mulțimea numerelor reale) se dovedește a fi o mapare -loc; în acest caz, elementele mulțimii ordonate se numesc argumente (ale unei funcții -locale date), fiecare dintre ele rulând prin propria sa mulțime: $X$ $X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}$ $f\coloan X\la Y$ $Y$ $n$ $x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$

x_{i}\în X_{i}

unde .

\forall i:1\leqslant i\leqslant n

În acest caz, notația înseamnă că . $y=f(x)$ $y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$

Modalități de a defini o funcție

Metodă analitică

O funcție poate fi definită folosind o expresie analitică (de exemplu, o formulă). În acest caz, este notat ca o corespondență sub formă de egalitate.

Exemple:

O funcție dată de o singură formulă:

$f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} ) ;$

Funcție definită pe bucăți:

$f(x)=|x|={\begin{cases}x,\;\forall x\geqslant 0,\\-x,\;\forall x<0;\end{cases))$

Funcție definită implicit:

$f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);$

Mod grafic

Funcția poate fi specificată și folosind un grafic. Fie o funcție reală a variabilelor. Atunci graficul său este un set de puncte din spațiul -dimensional: . Acest set de puncte este adesea o hipersuprafață . În special, când graficul unei funcții în unele cazuri poate fi reprezentat printr-o curbă în spațiu bidimensional. $y=f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\;$ $n$ $(n+1)$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\))$ $n=1$

Pentru funcțiile cu trei sau mai multe argumente, o astfel de reprezentare grafică nu este aplicabilă. Cu toate acestea, chiar și pentru astfel de funcții, se poate veni cu o reprezentare vizuală semi-geometrică (de exemplu, fiecare valoare a celei de-a patra coordonate a unui punct poate fi asociată cu o anumită culoare pe grafic, așa cum se întâmplă pe graficele funcțiilor complexe. ).

Enumerarea valorilor

O funcție pe o mulțime finită poate fi definită printr-un tabel de valori - prin indicarea directă a valorilor sale pentru fiecare dintre elementele domeniului de definiție. Această metodă este folosită, de exemplu, pentru a defini funcțiile booleene . De fapt, această metodă este și o sarcină a graficului funcției , dacă graficul funcției este considerat ca un set de perechi ordonate de forma . $f\colon A\la B$ $(x,f(x))$

Proprietăți generale

Compoziția mapărilor

Să fie date două mapări astfel încât setul de valori al primei să fie un subset al domeniului celui de-al doilea. Apoi, acțiunea succesivă a primei și celei de-a doua mapări asupra oricărui argument al primei mapări se potrivește în mod unic cu un element din intervalul celei de-a doua mapări:

$f:X\la Y,\;\;g:K\la Z\;\;(Y\subset K)\;\Rightarrow \exists \;h:X\to Z,\;\;h (x)=g(f(x))\;\;(\forall x\in X)$

Într-un astfel de caz, se numește compoziție de mapări și , este notat printr-o expresie care se citește „ după ”. În general, compoziția este necomutativă : or $h$ $f$ $g$ $g\circf$ $g$ $f$ $g(f(x))\neq f(g(x)),$ $g\circ f\neq f\circ g.$

Injectare

O funcție se numește injectivă (sau pur și simplu injecție ) dacă oricare două elemente diferite din mulțime sunt, de asemenea, asociate cu elemente diferite (inegale) din mulțime . Mai formal, o funcție este injectivă dacă de la . Cu alte cuvinte, este injectiv dacă . $f:X\la Y$ $x_{1},\,x_{2)$ $X$ $Y$ $f$ $f(x_{1})=f(x_{2})\;\Rightarrow x_{1}=x_{2)$ $f$ $\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Surjection

O funcție se numește surjectivă (sau pur și simplu surjecție ) dacă fiecare element al mulțimii poate fi asociat cu cel puțin un element al mulțimii . Adică, o funcție este surjectivă dacă . $f:X\la Y$ $Y$ $X$ $f$ $\forall y\in Y\;\există x\in X:f(x)=y$

O astfel de mapare se mai numește și mapare set - to - set . Dacă condiția de surjectivitate este încălcată, atunci o astfel de mapare se numește mapare set - to - set . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Bijection

O funcție care este atât surjectivă, cât și injectivă se numește bijectivă sau unu-la-unu ( bijecție pe scurt ).

Funcția inversă

Dacă funcția este o bijecție , atunci există pentru care . $f\coloan X\la Y$ $f^{{-1}}\colon Y\la X$ $x=f^{-1}(y)\;\Leftrightarrow y=f(x)$

Funcția în acest caz se numește inversul lui ; mai mult decat atat, este si bijectiva. $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$

Explicaţie:

Întrucât este o injecție, în general o funcție, din surjecție rezultă că se administrează pe . O funcție este injectivă deoarece este o funcție, iar surjectivitatea ei decurge din definiția ei. $f$ $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$ $Y$ $f^{-1}$ $f$

În general, o mapare care are un invers se spune că este inversabilă . Proprietatea de reversibilitate constă în îndeplinirea simultană a două condiţii: şi . $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$ $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}$

Contracția și continuarea funcției

Să fie dată o mapare și o mulțime care este un subset strict al mulțimii $f\coloan X\la Y$ $M\subsetneq X,$ $X.$

O mapare care ia aceleași valori ca și funcția se numește restricție (sau altfel restricție ) a funcției la mulțime . $g\colon M\la Y$ $M$ $f$ $f$ $M$

Restricția unei funcții la o mulțime se notează ca . $f$ $M$ $f{\big |}_{M}$

În acest caz, funcția originală , dimpotrivă, se numește extinderea funcției la mulțime . $f,$ $g$ $X$

Imagine și prototip

Imagine și preimagine (atunci când sunt afișate), valoarea la punctul

Elementul care este mapat la element se numește imaginea elementului (punct) (când este afișat ) sau valoarea afișată în punctul . $y=f(x)$ $X$ $X$ $f$ $f$ $X$

Dacă luăm întregul submult al zonei de definire a funcției , atunci setul de imagini ale tuturor elementelor acestui set, adică submulțimea zonei valorice (funcția ) a formei $A$ $f$ $f$

f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}

se numește imaginea mulțimii sub cartografiere . Acest set este uneori notat ca sau . $A$ $f$ $fa]$ $A^{f}$

Imaginea întregului domeniu al unei funcții se numește imaginea funcției sau, dacă funcția este o suprajecție , se numește în general intervalul funcției .

Și, invers, luând un subset în intervalul de valori ale funcției , putem lua în considerare mulțimea tuturor elementelor din zona de setare a funcției , ale căror imagini se încadrează în mulțime , adică setul de forma $B$ $f$ $f$ $B$

f^{{-1}}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}

care se numește imaginea inversă ( completă ) a setului (atunci când este mapată ). $B$ $f$

În special, atunci când mulțimea constă dintr-un singur element - să zicem, - atunci mulțimea are o notație mai simplă $B$ $B=\{y\}$ $f^{{-1}}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}$ $f^{{-1}}(y)$ .

Proprietăți ale imaginilor și prototipurilor

Proprietăți imagine

Fie și să fie subseturi ale domeniului de setare a funcției . Apoi imaginile seturilor și sub cartografiere au următoarele proprietăți: $A$ $B$ $f\coloan X\la Y$ $A$ $B$ $f$

$f[\varnothing ]=\varnothing$ ;
$A\neq \varnothing \Rightarrow f[A]\neq \varnothing$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow f[A]\subseteq f[B]$ .

imaginea uniunii mulțimilor este egală cu uniunea imaginilor: $f[A\cup B]=f[A]\cup f[B];$
imaginea intersecției mulțimilor este o submulțime a intersecției imaginilor: . $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$

Ultimele două proprietăți pot fi generalizate la orice număr de mulțimi.

Dacă maparea este inversabilă (vezi mai sus ), atunci imaginea inversă a fiecărui punct al intervalului este de un punct, deci pentru mapările inversabile, următoarea proprietate puternică pentru intersecții este valabilă:

imaginea intersectiei este egala cu intersectia imaginilor: . $f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]$

Proprietățile prototipurilor

Fie și să fie submulțimi ale mulțimii . Atunci imaginile inverse ale mulțimilor și sub mapare au următoarele două proprietăți evidente: $A$ $B$ $Y$ $A$ $B$ $f\coloan X\la Y$

Preimaginea de unire este egală cu uniunea de preimagini: ; $f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]$
Imaginea inversă a intersecției este egală cu intersecția preimaginilor: . $f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]$

Aceste proprietăți pot fi generalizate la orice număr de mulțimi.

Comportament

Crescător și descendent

Fie dată o funcție Atunci $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

o funcţie se numeşte nedescrescătoare pe dacă $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);

o funcție se numește necrescătoare pe dacă $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y);

o functie se numeste crescand cu daca $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)>f(y);

o functie se numeste descrescatoare cu daca $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)<f(y);

Funcțiile necrescătoare și nedescrescătoare sunt numite ( nestrict ) monotone , în timp ce funcțiile crescătoare și descrescătoare sunt numite strict monotone . Pentru o funcție arbitrară, se pot găsi intervale de monotonitate - submulțimi ale domeniului pe care funcția este într-un fel sau altul (serictitudinea este aleasă în majoritatea cazurilor prin acord) este monotonă.

Periodicitate

O funcție se numește periodică cu o perioadă dacă egalitatea $f\colon M\la N$ $T\nu=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M

Deoarece o funcție care este periodică cu o perioadă este și periodică cu perioade de forma , atunci, în general, cea mai mică perioadă a funcției. $T$ $nT\;(n\in \mathbb {N} )$ $T$

Dacă această egalitate nu este satisfăcută pentru niciunul , atunci funcția se numește aperiodic . $T\în M,\,T\nu =0$ $f$

Paritate

O funcție se numește impară dacă egalitatea $f\colon X\la \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

O funcție este numită chiar dacă egalitatea $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa y.

Funcția extrema

Fie dată o funcție și un punct un punct interior al zonei de activitate Apoi $f\colon X\to \mathbb {R}$ $x_{0}\în X$ $f.$

$x_{0}$ se numește punct maxim local dacă există o vecinătate a punctului astfel încât $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)<f(x_{0});$
$x_{0}$ se numește punct minim local dacă există o vecinătate a punctului astfel încât $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)>f(x_{0}).$

Funcții în teoria mulțimilor

În funcție de natura zonei de referință și a zonei valorice, se disting următoarele cazuri de zone:

multimi abstracte - multimi fara nicio structura suplimentara;
mulţimi care sunt înzestrate cu o oarecare structură.

În cazul 1 , mapările sunt considerate în forma cea mai generală și întrebările cele mai generale sunt rezolvate - de exemplu, despre compararea mulțimilor în termeni de cardinalitate : dacă există o mapare unu-la-unu (bijecție) între două mulțimi, atunci acestea multimile se numesc echivalente sau echivalente . Acest lucru ne permite să clasificăm mulțimile în funcție de cardinalitățile lor, iar cele mai mici dintre ele, în ordinea crescătoare, sunt după cum urmează:

multimi finite - aici cardinalitatea multimii coincide cu numarul de elemente;
multimi numarabile - multimi echivalente cu multimea numerelor naturale ;
seturi de puteri ale unui continuum (de exemplu, un segment al liniei reale sau linia reală în sine ).

Astfel, se obțin următoarele tipuri de mapări - în funcție de puterea domeniului de definiție:

funcțiile finite sunt mapări ale mulțimilor finite;
secvențe — o mapare a unui set numărabil într-o mulțime arbitrară;
Funcțiile continuum sunt mapări ale mulțimilor nenumărabile în mulțimi finite, numărabile sau nenumărabile.

În cazul 2 , obiectul principal de luat în considerare este structura dată pe mulțime (unde elementele mulțimii sunt înzestrate cu unele proprietăți suplimentare care leagă aceste elemente, de exemplu, în grupuri , inele , spații liniare ) și ce se întâmplă cu aceasta. structura în timpul mapării: dacă cu o mapare unu-la-unu, proprietățile unei structuri date sunt păstrate, atunci spunem că se stabilește un izomorfism între cele două structuri . Astfel, structurile izomorfe date în seturi diferite, în general, nu pot fi distinse, de aceea în matematică se obișnuiește să se spună că o structură dată este considerată „până la izomorfism ”.

Există o mare varietate de structuri care pot fi definite pe seturi. Aceasta include:

structura de ordine - ordinea parțială sau liniară a elementelor unei mulțimi;
structura algebrică - grupoid , semigrup , grup , inel , corp , domeniu de integritate sau câmp , definit pe elementele mulțimii;
structura spatiului metric - pe elementele multimii se stabileste functia distanta ;
structura spatiului euclidian - produsul scalar este stabilit pe elementele multimii ;
structura spațiului topologic - un set de „ mulțimi deschise ” (care nu conțin granița lor proprie ) este specificat pe mulțime;
structura spațiului măsurabil — sigma-algebra submulților din mulțimea originală este specificată pe mulțime (de exemplu, prin specificarea unei măsuri cu sigma-algebra dată ca domeniu al definiției funcției)

Funcțiile cu o anumită proprietate pot să nu existe pe acele mulțimi care nu au structura corespunzătoare. De exemplu, pentru a formula o astfel de proprietate ca continuitatea unei funcții definite pe o mulțime, trebuie să definiți o structură topologică pe această mulțime .

Variații și generalizări

Funcții parțial definite

O funcție parțial definită de la un set la un set este o funcție cu o zonă de activitate . $f$ $X$ $Y$ $f\coloan X'\la Y$ $X'={\rm {Dom}}f\subsetneq X$

Unii autori pot înțelege prin funcția în sine doar îngustarea acesteia, astfel încât funcția este definită în întregime pe domeniul „îngustat” al definiției. Acest lucru are avantajele sale: de exemplu, este posibil să scrieți , unde - în acest caz, înseamnă . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=1/x,$ ${\mathop {\rm {Dom}}}f=\mathbb {R} \backslash \{0\}$

Funcții cu mai multe valori

O valoare de argument dat trebuie să se potrivească exact cu o valoare a funcției, datorită definiției funcției în sine. Dar, în ciuda acestui fapt, se pot întâlni adesea așa-numitele funcții cu mai multe valori . De fapt, aceasta nu este altceva decât o notație convenabilă pentru o funcție al cărei interval este ea însăși o familie de mulțimi.

Fie , unde este o familie de submulțimi ale mulțimii . Apoi va exista un set pentru fiecare . $f\colon X\la \mathbb {B}$ $\mathbb {B}$ $Y$ $f(x)$ $x\în X$

O funcție este cu o singură valoare dacă fiecare valoare a argumentului corespunde unei singure valori a funcției. O funcție este multivalorică dacă cel puțin o valoare a argumentului corespunde la două sau mai multe valori ale funcției [5] .

Vezi și

Note

↑ V. A. Zorich . Capitolul I. Câteva concepte matematice generale și notație. § 3. Funcţia // Analiză matematică. Partea I. - a patra, corectată. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ 1 2 Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra și începuturile analizei. Manual pentru clasele 10-11 de liceu. - M., Educație, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . — C. 86-87
↑ G. E. Shilov . Capitolul 2. Elemente de teoria multimilor. § 2.8. Conceptul general de funcție. Grafic // Analiză matematică (funcțiile unei variabile). - M. : Nauka, 1969. - S. 69. - 528 p.
↑ 1 2 V. A. Zorich . Capitolul I. Câteva concepte matematice generale și notație. § 3. Funcţia // Analiză matematică. Partea I. - a patra, corectată. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ G. Korn, T. Korn. Manual de matematică. Pentru oameni de știință și ingineri. M., 1973 Capitolul 4. Funcții și limite, calcul diferențial și integral. 4.2. Funcții. 4.2-2. Funcții cu proprietăți speciale . ( a ), p.99. . Data accesului: 26 ianuarie 2012. Arhivat din original la 19 ianuarie 2015. (nedefinit)

Literatură

Funcţie. Dicţionar Enciclopedic Matematic / Ch. ed. Yu. V. Prohorov. - M .: „Marea Enciclopedie Rusă”, 1995.
Klein F. Conceptul general de funcție . În: Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior. T. 1. M.-L., 1933.
I. A. Lavrov şiL. L. Maksimova Partea I. Teoria mulțimilor//Probleme în teoria mulțimilor, logica matematică și teoria algoritmilor. -Ed. a 3-a. -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13-21. — 256 p. —ISBN 5-02-014844-X.
J. L. Kelly . Capitolul 0. Preliminari// Topologie generală. -Ed. a 2-a. -M .: Nauka, 1981. - S. 19-27. — 423 p.
A. N. Kolmogorov . Ce este o funcție // „Quantum” : științific-pop. Fiz.-Matematică. revistă - M . : "Nauka" , 1970. - Nr. 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .
Vilenkin N. Cum a apărut și s-a dezvoltat conceptul de funcție // „Kvant” : nauch.-pop. Fiz.-Matematică. revistă - M . : "Nauka" , 1977. - Nr. 7 . - S. 41-45 . — ISSN 0130-2221 .
JJ O'Connor, E.F. Robertson. Conceptul de funcție . Arhiva MacTutor Istoria matematicii . Școala de Matematică și Statistică, Universitatea St Andrews, Scoția (octombrie 2005). (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 11946892t GND : 4071510-3 J9U : 987007553160705171 LCCN : sh85052327 NDL : 00564960 NKC : ph114594