Formula recurentă

O formulă recurentă este o formulă a formei care exprimă fiecare membru al secvenței în termeni de membri anteriori și numărul membrului secvenței . $a_{n}=f(n,a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{np})$ $un$ $p$ $n$

Problematica generală a calculelor folosind formule recursive este subiectul teoriei funcţiilor recursive .

O ecuație recurentă este o ecuație care conectează mai mulți membri consecutivi ai unei anumite secvențe numerice. O secvență care satisface o astfel de ecuație se numește o secvență recurentă .

Exemple

Funcția factorială a unui număr natural satisface formula recurentă: $n!={\begin{cases}1,&n=0;\\(n-1)!\cdot n,&n\geqslant 1.\end{cases))$

Numerele Fibonacci sunt date prin formula liniară recurentă : $F_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2},&n\geqslant 2.\ sfârșit{cazuri}}$

Valoarea integralei satisface formula recurentă: $\textstyle I_{n}=\int \sin ^{n}x\,dx$ $I_{n}={\frac {-\cos x\cdot \sin ^{n-1}x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}I_{n-2 }.$

Soluția ecuației diferențiale Bessel poate fi scrisă ca o serie de puteri : $y''+(1/x)y'+(1-\nu ^{2}/x^{2})y=0$ $y=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{2n+\nu }.$

Pentru a determina coeficienţii , este suficient să stabilim că pentru toţi . După aceea, rezultatul binecunoscut este imediat obținut:

un

4n(n+\nu )a_{n}+a_{n-2}=0

n\geq 1

a_{n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{2^{2^{n}}n!(1+\nu )(2+\nu )\ cdots (n+\nu )}}.

Lungimea laturii la dublarea numărului de laturi ale unui n - gon regulat înscris : $a_{2n}={\sqrt {2R^{2}-2R{\sqrt {R^{2}-{\frac {a_{n}^{2}}{4}}}}}} ,\qquad n\geq 2,$

unde este raza cercului circumscris .

R

Ecuații liniare recurente

O ecuație liniară recurentă cu coeficienți constanți are forma:

f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=\varphi (n).

Aici sunt numere întregi nenegative, este o succesiune de numere, sunt numere constante, , este o funcție dată a . $n$ $f_{{n}}$ $a_{1},a_{2},\ldots,a_{r)$ $a_{{r}}\neq 0$ $\varphi (n)$ $n$

Ecuații recurente liniare omogene

Să presupunem că o secvență de numere satisface o ecuație omogenă liniară recurentă , unde sunt numere întregi nenegative, sunt date numere constante și . $f_{0},f_{1},\dots$ $f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=0$ $n$ $a_{1},\ldots, a_{r)$ $a_{{r}}\neq 0$

Se notează prin funcția generatoare a secvenței . Să construim un polinom . Acest polinom poate fi privit ca o funcție generatoare de secvențe . Luați în considerare produsul de generare a funcțiilor . Coeficientul la și este determinat de relația și este egal cu zero. Aceasta înseamnă că polinomul are gradul cel mult , deci gradul numărătorului funcției raționale este mai mic decât gradul numitorului. $F(z)$ $f_{0},f_{1},\dots$ $K(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{r}z^{r)$ $1,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r},0,0,\dots$ $C(z)=F(z)K(z)$ $c_{{n+r}}$ $z^{{n+r}}$ $n\geq 0$ $c_{n+r}=f_{0}0+\ldots +f_{n-1}0+f_{n}a_{r}+\ldots +f_{n+r}1=f_{n +r}+a_{1}f_{n+r-1}+\ldots +a_{r}f_{n}$ $C(z)$ $r-1$ $F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}$

Polinomul caracteristic al unei ecuații liniare recurente se numește polinom . Rădăcinile acestui polinom se numesc caracteristice. Polinomul caracteristic poate fi reprezentat ca , unde sunt diferite rădăcini caracteristice, sunt multiplicități de rădăcini caracteristice, . $g(z)=z^{r}+a_{1}z^{r-1}+\ldots +a_{r)$ $g(z)=(z-\alpha _{1})^{e_{1}}(z-\alpha _{2})^{e_{2}}\cdots (z-\alpha _ {s})^{e_{s}}$ $\alpha _{1},\ldots,\alpha _{s)$ $e_{1},\ldots, e_{s)$ $e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{s}=r$

Polinomul caracteristic și polinomul sunt legate prin relația . În acest fel, $g(z)$ $K(z)$ $K(z)=z^{r}g\left({\frac {1}{z}}\right)$

K(z)=(1-\alpha _{1}z)^{e_{1}}(1-\alpha _{2}z)^{e_{2}}\cdots (1-\ alfa _{s}z)^{e_{s}}.

O funcție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții:

F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}=\sum _{i=1}^{s}\sum _{k=1}^{e_{i }}{\frac {\beta _{ik}}{(1-\alpha _{i}z)^{k}}}.

Fiecare fracție din această expresie are forma , deci poate fi extinsă într-o serie de puteri de următoarea formă $\beta (1-\alpha z)^{{-k}}$

\beta (1-\alpha z)^{-k}=\beta \left[1+(-k)(-\alpha z)+\ldots +{\frac {(-k)\cdots ( -k-n+1)}{n!}}(-\alpha z)^{n}+\ldots \right]

Coeficientul pentru în această serie este egal cu $z^{n}$

{\frac {\beta (n+k-1)\cdots k}{n!)}}\alpha ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{n}}\ alfa ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{k-1}}\alpha ^{n}.

Prin urmare, funcția generatoare și este soluția generală a ecuației liniare recurente, unde este un polinom în grad cel mult . $F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{s}p_{i}(n)\alpha _{i}^ {n}\dreapta)z^{n}$ $f_{{n}}=\sum _{{i=1}}^{{s}}p_{{i}}(n)\alpha _{{i}}^{{n}}$ $p_{{i}}(n)$ $n$ $e_{{i}}-1$

Exemplu

Fie necesar să se găsească o soluție la ecuația cu condiții la limită și . $f_{{n+2}}-f_{{n+1}}+f_{{n}}=0$ $f_{{0}}=1$ $f_{{1}}=1$

Această ecuație are un polinom caracteristic , unde , . Soluția generală are forma . Înlocuind , obținem , . Primim valori , . Astfel . $z^{2}-z+1=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})$ $\alpha _{{1}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{i{\frac {\pi } {3}}}}$ $\alpha _{{2}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{-i{\frac {\pi {3}}}}$ $f_{{n}}=c_{{1}}\alpha _{{1}}^{{n}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}^{{n}}=c_ {{1}}e^{{{\frac {i\pi n}{3}}}}+c_{{2}}e^{({\frac {-i\pi n}{3}}} }$ $n=0,1$ $c_{{1}}+c_{{2}}=1$ $c_{{1}}\alpha _{{1}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}=1$ $c_{{1}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $c_{{2}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $f_{n}=\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left ({\frac {\pi n}{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)+\left({\frac {1 }{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right) -i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)$

Aplicații

Există o formulă care exprimă termenul general al unei secvențe liniare recurente în termenii rădăcinilor polinomului său caracteristic. De exemplu, pentru șirul lui Fibonacci, o astfel de formulă este formula lui Binet . Formulele recursive sunt folosite pentru a descrie timpul de rulare al unui algoritm care se autoinvocă recursiv. Într-o astfel de formulă, timpul necesar pentru rezolvarea problemei cu volumul de intrare este exprimat în termeni de timp pentru rezolvarea subsarcinilor auxiliare. [unu] $n$

Vezi și

Secvență liniară recurentă
functie recursiva
recursiunea
Teorema principală a relațiilor recursive (o soluție simplificată a unor tipuri de relații recursive care apar în analiza complexității algoritmilor recursivi)

Note

↑ T. Kormen, C. Leizerson, R. Rivest, K. Stein. Algoritmi. Construcție și analiză = Introduction To Algorithms / I. Krasikov. - Editura „Williams”, 2005. - S. 79. - 1296 p.

Literatură

Fujisawa T., Kasami T. Matematică pentru ingineri radio: teoria structurilor discrete. - M. , editura = Radio și comunicare, 1984. - 240 p.