Poligon regulat

poligon regulat
Octogon obișnuit
Tip de	Poligon
Simbolul Schläfli	$\{n\)$
Un fel de simetrie	grup diedric $(\mathrm {D} _{5})$
Pătrat	$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}$
Colț interior	$(n-2)*180^{\circ }$
Proprietăți
convex , înscris , echilateral , echiunghiular , izotoxal
Fișiere media la Wikimedia Commons

Un poligon regulat este un poligon convex în care toate laturile și toate unghiurile dintre laturile adiacente sunt egale.

Definiția unui poligon regulat poate depinde de definiția unui poligon : dacă este definit ca o linie întreruptă plată închisă, atunci definiția unui poligon stea regulat apare ca un poligon neconvex , în care toate laturile sunt egale cu fiecare. altele și toate unghiurile sunt egale între ele.

Definiții înrudite

Centrul unui poligon obișnuit se numește centrul său de masă , coincizând cu centrele cercurilor sale înscrise și circumscrise .

Unghiul central al unui poligon regulat se numește unghiul central al cercului său circumscris , pe baza laturii sale. Valoarea unghiului central al unui -gon regulat este . [1] [2] $n$ ${\frac {2\pi }{n}}$

Proprietăți

Coordonate

Fie și coordonatele centrului și fie raza cercului descris în jurul poligonului regulat , fie coordonatele unghiulare a primului vârf relativ la centru, apoi se determină coordonatele carteziene ale vârfurilor n-gonului regulat prin formulele: $x_{C}$ $Y c}$ $R$ ${\phi }_{0}$

x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)

y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)

unde ia valori de la până la . $i$ $0$ $n-1$

Dimensiuni

Fie raza cercului circumscris în jurul unui poligon regulat , atunci raza cercului înscris este egală cu $R$

r=R\cos {\frac {\pi {n))

iar lungimea laturii poligonului este

a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r{\mathop {{\mathrm {tg}}}}\,{\frac {\pi }{n}}

Zona

Aria unui poligon regulat cu numărul de laturi și lungimea laturii este: $n$ $A$

S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{n}}

Aria unui poligon regulat cu numărul de laturi înscrise într-un cerc de rază este: $n$ $R$

S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}

Aria unui poligon regulat cu numărul de laturi circumscrise în jurul unui cerc de rază este: $n$ $r$

S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg))))\,{\frac {\pi }{n))

Aria unui poligon regulat cu numărul de laturi este $n$

S={\frac {nra}{2}}={\frac {1}{2}}Pr

unde este raza cercului înscris al poligonului, este lungimea laturii sale și este perimetrul acestuia. $r$ $A$ $P$

Perimetru

Dacă trebuie să calculați lungimea unei laturi a unui n-gon obișnuit înscris într-un cerc, știind lungimea cercului , puteți calcula lungimea unei laturi a poligonului: $un$ $L$

un

este lungimea laturii unui n-gon regulat.

a_{n}=\sin {\Big (}{\frac {\pi }{n}}{\Big )}\cdot {\frac {L}{\pi }}

Perimetrul este $P_{n}$

P_{n}=a_{n}\cdot n

unde este numărul de laturi ale poligonului. $n$

Proprietățile diagonalelor poligoanelor regulate

Numărul maxim de diagonale ale unui -gon regulat care se intersectează într-un punct care nu este vârful sau centrul său este: $n$
- $2$ , dacă impar ; $n$
- $3$ , dacă chiar , dar nu divizibil cu ; $n$ $6$
- $5$ , dacă este divizibil cu dar nu este divizibil cu ; $n$ $6$ $30$
- $7$ dacă este divizibil cu $n$ $30$

Există doar trei excepții: acest număr este egal într-un triunghi , într-un hexagon și într-un dodecagon . [3] .

0

2

patru

Pentru pare , diagonalele se intersectează în centrul poligonului .

n

n/2

Să introducem o funcție egală dacă este divizibil cu , și egală în caz contrar. Apoi: $\delta _{m}(n)$ $unu$ $n$ $m$ $0$

Numărul de puncte de intersecție ale diagonalelor unui -gon regulat este $n$

{\begin{array}{l}C_{n}^{4}+\left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24\right)/24\cdot \delta _ {2}(n)-(3n/2)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-45n^{2}+262n\right)/6\cdot \delta _{6 }(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+\\+35n\cdot \delta _{24}(n)-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-\\-144n\cdot \delta _{84}(n )-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}

De unde este numărul de combinații conform [ 3] .

C_{n}^{4)

n

patru

Numărul de părți în care un -gon obișnuit își împarte diagonalele este $n$

{\begin{array}{l}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24\right)/24+\\+\left(-5n ^{3}+42n^{2}-40n-48\right)/48\cdot \delta _{2}(n)-(3n/4)\cdot \delta _{4}(n)+\\ +\left(-53n^{2}+310n\right)/12\cdot \delta _{6}(n)+(49n/2)\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \ delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n) -190n\cdot \delta _{60}(n)-\\-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{ 120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}

[3] .

Aplicație

Poligoanele regulate sunt prin definiție fețele poliedrelor regulate .

Matematicienii greci antici ( Antifon , Bryson al lui Heracles , Arhimede etc.) au folosit poligoane regulate pentru a calcula numărul π . Ei au calculat ariile poligoanelor înscrise într-un cerc și au descris în jurul acestuia, crescând treptat numărul laturilor lor și obținând astfel o estimare a ariei unui cerc. [patru]

Istorie

Construirea unui poligon regulat cu laturi cu busolă și dreptar a rămas o problemă pentru matematicieni până în secolul al XIX-lea . O astfel de construcție este identică cu împărțirea cercului în părți egale, deoarece conectând punctele care împart cercul în părți, puteți obține poligonul dorit. $n$ $n$

Euclid în „ Principii ” sa angajat în construcția de poligoane regulate în cartea IV, rezolvând problema pentru . În plus, el a determinat deja primul criteriu pentru construirea poligoanelor: deși acest criteriu nu a fost exprimat în „Principii”, matematicienii greci antici au fost capabili să construiască un poligon cu laturi (cu un întreg ), având deja construit un poligon. cu numărul de laturi : folosind capacitatea de a împărți arcul în două părți, din două semicercuri construim un pătrat , apoi un octogon regulat , un hexagon regulat și așa mai departe. În plus, în aceeași carte, Euclid indică și al doilea criteriu de construcție: dacă se știe cum se construiesc poligoane cu ambele laturi și și coprim , atunci este posibil să se construiască un poligon cu laturi. Acest lucru se realizează prin construirea unui poligon cu laturi și a unui poligon cu laturi astfel încât acestea să fie înscrise într-un cerc și să aibă un vârf în comun - în acest caz, aproximativ două vârfuri ale acestor poligoane vor fi vârfuri adiacente ale -gonului. Sintetizând aceste două metode, putem concluziona că matematicienii antici au fost capabili să construiască poligoane regulate cu , și laturi pentru orice număr întreg nenegativ . $n=3,4,5,6,15$ $2^{m}$ $m>1$ $2^{m-1}$ $r$ $s$ $r$ $s$ $r\cdot s$ $s$ $r$ $rs$ $2^{m}\cdot 3$ $2^{m}\cdot 5$ $2^{m}\cdot 3\cdot 5$ $m$

Matematica medievală nu a făcut aproape niciun progres în această problemă. Abia în 1796, Carl Friedrich Gauss a reușit să demonstreze că, dacă numărul de laturi ale unui poligon obișnuit este egal cu numărul prim Fermat , atunci acesta poate fi construit folosind o busolă și o riglă. Următoarele numere prime Fermat sunt cunoscute astăzi: . Problema prezenței sau absenței altor astfel de numere rămâne deschisă. Gauss, în special, a fost primul care a dovedit posibilitatea de a construi un -gon obișnuit și, la sfârșitul vieții, a lăsat moștenire să-l bată pe piatra funerară, dar sculptorul a refuzat să facă o treabă atât de dificilă. [5] $3,5,17,257,65537$ $17$

Din rezultatul lui Gauss, a rezultat imediat că un poligon regulat poate fi construit dacă numărul laturilor sale este egal cu , unde este un întreg nenegativ și sunt numere prime Fermat distincte în perechi. Gauss a bănuit că această condiție nu era doar suficientă, ci și necesară, dar acest lucru a fost dovedit pentru prima dată de Pierre-Laurent Wantzel în 1836 . Teorema finală care combină ambele rezultate se numește Teorema Gauss-Wanzel . $2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}$ ${k}$ ${pijamale}}$

Cele mai recente rezultate în construcția poligoanelor regulate sunt construcțiile explicite ale 17- , 257- și 65537-gons . Primul a fost găsit de Johannes Erchinger în 1825 , al doilea de Friedrich Julius Richelot în 1832 , iar ultimul de Johann Gustav Hermes în 1894 .

Vezi și

poliedru regulat

Note

↑ MATVOX
↑ treugolniki.ru . Preluat la 12 mai 2020. Arhivat din original la 2 iulie 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 3 Bjorn Poonen și Michael Rubinstein „Numărul de puncte de intersecție realizate de diagonalele unui poligon regulat” . Preluat la 16 iulie 2020. Arhivat din original la 17 iulie 2020. (nedefinit)
↑ A. V. Jukov. Despre numărul pi. — M.: MTsNMO, 2002. ISBN 5-94057-030-5 .
↑ Labuda

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si