Rostock (matematică)

Germenul unui obiect pe un spațiu topologic exprimă proprietățile locale ale obiectului. Într-un fel, putem spune că acesta este un obiect nou care preia numai proprietățile locale ale obiectului care l-a dat naștere (cel mai adesea, mapările acționează ca astfel de obiecte ). Evident, funcții diferite pot defini același germen. În acest caz, toate proprietățile locale (continuitate, netezime etc.) ale unor astfel de funcții coincid și este suficient să luăm în considerare proprietățile nu ale funcțiilor în sine, ci numai ale germenilor lor. Punctul important este introducerea conceptului de localitate, astfel încât germenii sunt luați în considerare pentru obiectele dintr-un spațiu topologic.

Definiție formală

Fie dat un punct al unui spațiu topologic și două mapări la orice mulțime . Apoi spunem asta și definim același germen în dacă există o vecinătate a punctului astfel încât constrângerile pe și pe să coincidă. Acesta este, $X$ $X$ $f,\;g:X\la Y$ $Y$ $f$ $g$ $X$ $U$ $X$ $f$ $g$ $U$

f|_{U}=g|_{U}

(ceea ce înseamnă ). $\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$

În mod similar, se vorbește despre două submulțimi : ele definesc același germen în cazul în care există o vecinătate astfel încât: $S,\;T\subset X$ $X$ $U$

S\cap U=T\cap U.

Evident, atribuirea germenilor identici într-un punct este o relație de echivalență (pe mapări sau, respectiv, mulțimi), iar aceste clase de echivalență se numesc germeni (germeni hărți sau germeni setați). Relația de echivalență este de obicei notată cu sau . $X$ $f\sim _{x}g$ $S\sim _{x}T$

Germenul unei hărți date într-un punct este de obicei notat cu . În mod similar, germenul definit de mulțime este notat cu . $f$ $X$ $[f]_{x}$ $S$ $[S]_{x}$

[f]_{x}=\{g:X\la Y\mid g\sim _{x}f\}.

O cartografiere germenică punct la punct este scrisă , astfel, este o întreagă clasă de echivalență de mapări și este obișnuit să înțelegem orice mapare reprezentativă prin. De asemenea, se poate observa că două mulțimi sunt echivalente (definiți același germen de set) dacă funcțiile lor caracteristice sunt echivalente (în ceea ce privește maparea germenilor): $x\în X$ $y\în Y$ $(X,\;x)\la (Y,\;y)$ $f$ $f$

S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.

Literatură

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Introducere în principiul h . - M .: Centrul de Educație Matematică Continuă din Moscova, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .