Munca liberă

Un produs liber de grupuri este un grup generat de elemente ale acestor două grupuri, fără relații suplimentare .

O lucrare liberă și este de obicei notat cu . $G_{1}$ $G_{2}$ $G_{1}*G_{2}$

Definiții

Dacă grupurile sunt date în termeni de generatori și relații , atunci $G_{1}=\langle S_{1}|R_{1}\rangle$ $G_{2}=\langle S_{2}|R_{2}\rangle$ $G_{1}*G_{2}=\langle S_{1}\cup S_{2}|R_{1}\cup R_{2}\rangle$
- Această definiție admite și o generalizare naturală în cazul unui produs liber al oricărui număr de grupe.

Un produs gratuit poate fi definit și ca un coprodus cu fibre pentru un grup banal din categoria grupelor. $G_{1}*G_{2}$ $G_{1}\amalg _{\{e\}}G_{2}$ $\{e\}$

Exemple

Produsul liber este izomorf cu grupul diedric infinit . $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2)$ $D_{\infty )$
Un produs liber este izomorf cu un grup proiectiv . $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3)$ $PSL(2,\mathbb {Z} )$
Un produs gratuit de copii este un grup gratuit cu generatoare. $n$ $\mathbb {Z}$ $n$
Teorema Seifert-van Kampen afirmă în special că dacă este un spațiu topologic și sunt două mulțimi deschise conexe astfel încât intersecția este pur și simplu conexă, și , atunci grupul fundamental este produsul liber al grupurilor fundamentale și ; acesta este $X$ $V,U\subset X$ $W=V\cap U$ $X=V\cup U$ $X$ $V$ $U$ $\pi _{1}X=\pi _{1}V*\pi _{1}U.$

Literatură

Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor. Moscova: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Moscova: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Teoria grupurilor. (ed. a 3-a). Moscova: Nauka, 1967.
Hall M. Teoria grupurilor. M.: Editura de literatură străină, 1962.