Caracteristica mobilă

O singularitate în mișcare (sau un punct singular în mișcare ) a unei soluții generale la o ecuație diferențială obișnuită este un astfel de punct singular al soluției care este diferit pentru diferite soluții particulare ale aceleiași ecuații. Adică, ei spun că soluția generală a unei ecuații diferențiale are o singularitate în mișcare dacă diferite soluții particulare ale acestei ecuații au o singularitate în puncte diferite, în funcție de parametrul (de exemplu, de condițiile inițiale) care determină o anumită soluție particulară. [1] . Punctele singulare care nu depind de o anumită soluție sunt numite singularități fixe (sau puncte singulare fixe). Singularitățile în mișcare joacă un rol important în studiul soluțiilor ecuațiilor diferențiale obișnuite în plan complex [2] .

Exemplu

Luați în considerare, de exemplu, ecuația

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}

Soluțiile sale vor fi pentru orice constantă c . Aceste soluții au un punct singular la . Astfel, această ecuație are o singularitate în mișcare. $y={\sqrt {xc)}$ $x=c$

Ecuații diferențiale liniare

Pe de altă parte, se știe că o ecuație diferențială liniară poate avea un punct singular doar în punctele singulare ale ecuației în sine. Prin urmare, o ecuație diferențială liniară nu poate avea o singularitate în mișcare [2] .

Proprietatea Painlevé

Un punct singular pentru o funcție complexă cu mai multe valori se numește critic (sau punct de ramificare ) dacă funcția își schimbă valoarea atunci când ocolește acest punct (de exemplu, este un punct critic pentru funcția ). $z=0$ ${\sqrt {z)}$

Se spune că o ecuație diferențială obișnuită are proprietatea Painlevé dacă soluțiile sale nu au singularități critice în mișcare.

De exemplu, ecuația are soluții , unde este o constantă arbitrară. Aceste soluții au un punct necritic singular mobil . Ecuația are soluții . Punctul singular al acestei ecuații va fi deja critic. Astfel, ecuația are proprietatea Painlevé, dar nu. $w'=-w^{2}$ ${\displaystyle (c+z)^{-1))$ $c$ $z=-c$ $w'=-w^{3)$ ${\displaystyle (c+2z)^{-1/2))$ $w'=-w^{2}$ $w'=-w^{3)$

Paul Painlevé și studenții săi au arătat că se poate obține o soluție generală pentru ecuațiile cu această proprietate. Dacă ecuația nu are proprietatea Painleve, atunci, de regulă, nu este posibil să se obțină soluția ei [2] .

Studiul ecuațiilor diferențiale pe proprietatea Painlevé se numește analiză Painlevé .

Istorie

Conceptul de punct singular în mișcare a fost introdus de Lazar Fuchs . În 1884, Fuchs a demonstrat că printre toate ecuațiile de ordinul întâi ale formei

w'=F(z,w),

pentru care funcția este local analitică în primul argument și rațională în al doilea, doar ecuația Riccati nu are puncte critice singulare în mișcare . $F$

Sofia Kovalevskaya , studiind problema rotației unui vârf, a demonstrat că soluțiile la această problemă nu au puncte critice singulare în mișcare în doar trei cazuri. Soluțiile la problema în primele două cazuri au fost obținute anterior de Leonhard Euler și Joseph Lagrange . Kovalevskaya a primit soluții pentru al treilea caz. Sofya Kovalevskaya a fost astfel prima care a descoperit avantajele ecuațiilor diferențiale având proprietatea pe care o numim acum proprietatea Painlevé. În 1888, ea a primit Premiul Borden al Academiei de Științe din Paris pentru această lucrare .

Paul Painlevé a studiat ecuațiile diferențiale de ordinul doi în jurul anului 1900

w''=F(z,w,w'),

unde funcția este local analitică în primul argument și rațională în ultimele două. Painlevé și studenții săi Bertrand Gambier , René Garnier și alții, au demonstrat că dintre toate astfel de ecuații posibile, doar 50 de ecuații canonice au proprietatea Painlevé. S-a dovedit că 44 din aceste 50 de ecuații pot fi exprimate în termeni de funcții cunoscute, iar pentru soluțiile celor șase ecuații rămase, Painlevé și Gambier au introdus funcții speciale, care se numesc acum transcendent Painlevé [2] . $F$

Vezi și

Teorema Painlevé

Note

↑ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. Metode matematice avansate pentru oameni de știință și ingineri : Seria metode asimptotice și perturbații . - Springer, 1999. - P. 7.
↑ 1 2 3 4 N. A. Kudryashov . Proprietatea Painlevé în teoria ecuațiilor diferențiale // Soros Educational Journal : Journal. - 1999. - Nr 9 . - S. 121-122 . Arhivat din original la 1 iunie 2016.