Ecuație diferențială liniară

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 septembrie 2020; verificările necesită 3 modificări .

În matematică , o ecuație diferențială liniară are forma

Ly=f

unde operatorul diferenţial L este liniar , y este o funcţie cunoscută a lui, iar partea dreaptă este o funcţie a aceleiaşi variabile cu y . $y=y(t)$ $f=f(t)$

Operatorul liniar L poate fi considerat sub forma

L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n)}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1} y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y

Mai mult, dacă , atunci o astfel de ecuație se numește o ecuație liniară omogenă , în caz contrar, o ecuație liniară neomogenă . $f(t)\equiv 0$

Ecuații cu coeficienți variabili

O ecuație diferențială liniară de ordin n cu coeficienți variabili are forma generală

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x)

Exemplu

Ecuația Cauchy-Euler , folosită în inginerie , este un exemplu simplu de ecuație diferențială liniară cu coeficienți variabili

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{ 0}y(x)=0

Ecuația de ordinul întâi

Exemplu

Soluția ecuației

y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2

cu conditiile initiale

y\left(0\right)=2

Avem o soluție generală

y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)

Rezolvarea integralei nedefinite

y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)

Poate fi simplificat la

y=2/3+\kappa e^{-3x)

unde 4/3, după înlocuirea condițiilor inițiale în soluție. $\kappa=$

O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi cu coeficienți variabili are forma generală

y'(x)+f(x)y(x)=g(x)

Ecuațiile în această formă pot fi rezolvate prin înmulțire cu un factor de integrare

e^{\int f(x)\,dx)

Ecuația va fi scrisă

y'(x)e^{{\int f(x)\,dx}}+f(x)y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=g(x)e ^{{\int f(x)\,dx}}),

Deoarece partea stângă formează diferența produsului

\left(y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\right)'=g(x)e^({\int f(x)\,dx}}

Ceea ce, după integrarea ambelor părți, duce la

y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=\int g(x)e^({\int f(x)\,dx}}\,dx+C~,

y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\,dx+C}{e^{{\int f(x)\,dx }}}}~.

Astfel, soluția ecuației diferențiale liniare de ordinul întâi

y'(x)+f(x)y(x)=g(x),

(în special, cu coeficienți constanți) are forma

y(x)=e^{{-{\int {f(x)\,dx))))\left(\int g(x)e^{{\int {f(x)\,dx)) }\,dx+C\dreapta)

unde este constanta de integrare. $C$

Exemplu

Să luăm o ecuație diferențială de ordinul întâi cu coeficienți constanți:

{\frac {dy}{dx}}+by=1.

Această ecuație este de o importanță deosebită pentru sistemele de ordinul întâi, cum ar fi circuitele RC și amortizorul de masă.[ termen necunoscut ] sisteme.

În acest caz, p ( x ) = b, r ( x ) = 1.

Deci solutia va fi:

y(x)=e^{{-bx}}\left(e^{{bx}}/b+C\right)=1/b+Ce^{{-bx}}.

Vezi și

Metoda funcției lui Green

Ecuație diferențială liniară

Ecuații cu coeficienți variabili

Exemplu

Ecuația de ordinul întâi

Exemplu

Vezi și

Ecuații cu coeficienți constanți