Categoria monoidală simetrică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În teoria categoriilor, o categorie monoidală simetrică este o categorie monoidală în care operația produsului tensor este „cât mai comutativă posibil”. Într-o categorie monoidală simetrică, se alege un izomorfism pentru orice obiect și toate aceste izomorfisme formează împreună o familie naturală. $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$

Definiție formală

O categorie monoidală simetrică este o categorie monoidală în care se alege un izomorfism pentru oricare două obiecte și , iar următoarea diagramă hexagonală comută de asemenea : $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id$

Exemple

Orice categorie carteziană închisă este o categorie monoidală închisă simetrică. Aceasta oferă exemple precum Set și Cat (categoria de seturi și categoria de categorii mici).
Spațiile vectoriale peste un câmp fix k cu produs tensor formează o categorie monoidală. Maparea , definită pe elemente descompuse ale formei și extinsă prin liniaritate, definește în mod evident structura unei categorii monoidale simetrice pe ea. $V\otimes W\la W\otimes V$ $v\otimes w$

Categoriile monoidale cu înnodare

Categoria monoidale înnodate este o generalizare a categoriei monoidale simetrice; nu mai cere ca . Cu toate acestea, în loc de comutativitatea unei diagrame hexagonale, trebuie să solicitați comutativitatea a două: $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text {Id)}$

În cazul simetric, ambele diagrame comută și ele, dar comutativitatea uneia dintre ele rezultă din comutativitatea celeilalte și din proprietatea . $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text {Id)}$

Denumirea categorie monoidală împletită provine de la grupul de împletituri . Într-adevăr, aceste concepte sunt profund împletite. Pentru o categorie monoidală cu înnodare, precum și pentru o categorie monoidală obișnuită, teorema de coerență este adevărată, afirmând că orice diagramă pe săgețile căreia sunt scrise compoziții și inverse este comutativă. Mai precis, se afirmă că într-o categorie de înnodare monoidală B, oricare doi functori izomorfi natural de la B n la B construiți din aplicații la argumente și paranteze sunt izomorfi în mod natural într-un mod unic , canonic. Fiecare săgeată, pe care este scrisă transformarea, compusă din simbolurile de mai sus, poate fi asociată cu un element al grupului de împletituri (de exemplu, transformarea este asociată cu „răsucirea” a două fire, este ușor de observat că ) . Se dovedește că doi astfel de functori sunt izomorfi în mod natural dacă corespund aceluiași element al grupului de împletituri. $\gamma,\alpha,\lambda,\rho,e,\otimes,{\text{Id)}$ $uneori$ $\gamma$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text {Id)}$

Functori monoidali simetrici

Un functor monoidal F între categoriile monoidale simetrice C și D se numește simetric dacă transformarea naturală corespunzătoare comută cu , adică pentru orice A , B din categoria C , următoarea diagramă comută: $\phi$ $\lambda$

Transformări naturale monoidale simetrice

O transformare naturală monoidală între functorii monoidali și între categorii monoidale: este o transformare naturală astfel încât următoarele două diagrame comută: $(F,\Phi,\phi)$ $(G,\Gamma,\gamma)$ $C\la D$ $\alpha:C\la D$

Transformările naturale monoidale simetrice nu necesită condiții suplimentare în afară de faptul că acţionează între functorii monoidali simetrici.

Echivalență monoidală

C și D sunt categorii echivalente simetric monoid dacă există functori monoidali simetrici și izomorfisme naturale monoidale simetrice și . $F:C\la D$ $G:D\la C$ $FG\Leftarrow 1_{C}$ $GF\Leftarrow 1_{D}$

MacLane a demonstrat o teoremă conform căreia orice categorie monoidală simetrică este echivalentă monoidal (simetric) cu o categorie monoidală strictă (și simetrică).

Așa cum este definită 2 categorii de categorii mici, se pot defini 2 categorii de categorii monoidale mici și categorii monoidale mici simetrice, cu functori adecvați și transformări naturale.

Note și link-uri

Kelly, GM „Conceptele de bază ale teoriei categoriilor îmbogățite” , seria de note de curs ale Societății de Matematică din Londra nr.64 (CUP, 1982)
Joyal, Andre ; Street, Ross (1993). Categorii de tensoare împletite. Progrese în matematică 102 , 20-78.
John C. Baez , [ http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Câteva definiții pe care toată lumea ar trebui să le știe]
Categoriile monoidale simetrice pe nLab