Deplasarea Malmquist

Deplasarea Malmquist ( deplasarea Malmquist ) este un efect în astronomia observațională care are ca rezultat detectarea preferențială a obiectelor cu luminozitate ridicată. Acest efect a fost descris pentru prima dată în 1922 de astronomul suedez Gunnar Malmqvist (1893-1982), care a studiat acest fenomen în detaliu în 1925. [1] [2] În statistică, această prejudecată este o eroare sistematică și afectează rezultatele sondajelor în eșantioane limitate de magnitudinea aparentă, care nu includ stele ale căror magnitudini stelare aparente depășesc o anumită valoare. Deoarece stelele și galaxiile observabile apar mai slabe la distanțe mai mari de observator, magnitudinea aparentă a stelelor va crește odată cu distanța până când va depăși valoarea limită pentru un studiu dat. Obiectele cu luminozitate mai mare pot fi observate de la o distanță mai mare, ceea ce poate crea o relație falsă care crește luminozitatea cu distanța. Metoda de a lua în considerare corect un astfel de efect a necesitat o atenție specială a oamenilor de știință.

Teoria deplasării

Mărimea aparentă și strălucirea

Se știe că, pe măsură ce sursa se îndepărtează de observator, sursa pare din ce în ce mai slabă. Atenuarea are loc conform legii inversului pătratului , care spune că iluminarea de la sursă scade cu 1/ d 2 , unde d este egal cu distanța de la sursa de lumină la observator.

Lumina stelelor se propagă, de asemenea, conform legii inversului pătratului. Razele de lumină se propagă într-o sferă centrată pe o stea. Pe măsură ce timpul trece, sfera crește pe măsură ce lumina se îndepărtează de stea. Sfera crește în dimensiune, dar numărul de raze rămâne același. Prin urmare, cantitatea de lumină care trece printr-o singură zonă pe o sferă scade odată cu distanța și, prin urmare, cu timpul. La observarea unei stele, doar acele raze care se încadrează într-o anumită zonă sunt înregistrate de observator. Acest fapt arată de ce stelele mai îndepărtate par mai slabe.

Luați în considerare două stele de aceeași luminozitate la distanțe diferite. O stea mai apropiată va apărea mai strălucitoare. Astfel, magnitudinea aparentă a stelelor depinde nu numai de luminozitatea sursei, ci și de distanța până la aceasta.

Dacă toate stelele ar avea aceeași luminozitate, atunci distanța de la Pământ la stea ar fi determinată simplu. Cu toate acestea, stelele au luminozități semnificativ diferite, prin urmare, este dificil să distingem o stea strălucitoare îndepărtată de una apropiată slabă. Astfel, determinarea distanței până la obiectele astronomice este o sarcină dificilă.

Motivul înlăturării lui Malmquist

De obicei, atunci când observăm o regiune a cerului, putem vedea doar stele până la o anumită magnitudine. După cum am discutat mai sus, vom vedea stele îndepărtate cu luminozitate mare și stele din apropiere, atât luminoase, cât și slabe. Astfel, se va părea că, până la o anumită distanță, există mult mai multe stele cu luminozitate mare decât cele slabe. De fapt, există mult mai multe stele slabe, [3] dar nu intră în eșantionul observat, deoarece sunt prea slabe. Deplasarea către stele cu luminozitate mai mare atunci când se observă o secțiune a cerului afectează determinarea valorii medii a magnitudinii stelare absolute și a distanței medii până la un grup de stele. Deoarece stelele cu luminozitate ridicată sunt vizibile la distanțe mari, poate părea că eșantionul luat în considerare este în medie mai îndepărtat și, prin urmare, fiecare stea va fi considerată a avea o luminozitate mai mare. Acest efect se numește părtinire Malmquist. [unu]

Când studiem un eșantion de surse de luminozitate ridicată, stele sau galaxii, este important să ținem cont de trecerea către obiecte mai strălucitoare. Există mai multe metode pentru a lua în considerare influența părtinirii Malmquist.

Influența deplasării Malmquist nu se limitează la luminozitățile obiectelor. Alte mărimi observabile sunt supuse aceleiași schimbări, iar capacitatea lor de a detecta scade cu distanța. [patru]

Metode de corectare

În mod ideal, această părtinire în sondaje ar trebui evitată. Cu toate acestea, sondajele cu magnitudine limitată sunt cel mai ușor de implementat, în timp ce alte metode sunt mai complexe și necesită luarea în considerare a altor tipuri de incertitudini, ceea ce poate fi dificil pentru obiectele observate pentru prima dată. Au fost propuse un număr de metode diferite pentru a elimina părtinirea. Mai jos sunt metodele în ordinea complexității crescânde și a preciziei și eficienței.

Limită de eșantionare

Cea mai simplă metodă implică utilizarea doar a părții imparțiale a setului de date. [5] În funcție de mărimea limită, poate exista un interval de valori ale distanței la care vor fi vizibile toate obiectele cu mărimi absolute diferite. Atunci un astfel de subset de date va fi liber de părtinire Malmquist. Obținerea unui astfel de subset se poate face astfel: valoarea limită a distanței este cea la care obiectele cele mai slabe vor avea mărimea limită. Din nefericire, această metodă implică excluderea unei cantități mari de date și limitează analiza posibilă doar la date despre obiectele din apropiere. De asemenea, această metodă presupune cunoașterea exactă a distanțelor până la obiecte.

Versiunea tradițională a corecției

Prima soluție propusă de Malmquist în 1922 a fost corectarea mărimii absolute medii ( ) a eșantionului pentru a obține o valoare imparțială ( M 0 ). [1] Corecția este

Pentru a calcula această corecție, Malmquist și alți oameni de știință au folosit o serie de ipoteze. [6]

  1. Nu există extincție interstelară, sau materia dintre stele (gaz sau praf) nu afectează trecerea luminii. Această ipoteză implică faptul că propagarea luminii se supune numai legii inversului pătratului.
  2. Funcția de luminozitate (Φ) este independentă de distanță ( r ). Această presupunere înseamnă că Universul este același în orice parte și stelele sunt distribuite în orice zonă în același mod ca în vecinătatea Soarelui.
  3. Pentru o anumită zonă de pe sfera cerească , densitatea stelelor ( ρ ) depinde doar de distanță, ceea ce implică același număr de stele în medie în direcții diferite.
  4. Eșantionul este considerat complet, adică ia în considerare toate stelele până la magnitudinea stelară aparentă limită ( m lim ).
  5. Funcția de luminozitate poate fi aproximată printr-un gaussian centrat la mărimea medie absolută M 0 .
  6. Stelele aparțin aceleiași clase spectrale , a cărei mărime medie absolută este egală cu M 0 , varianța este egală cu σ .

Această situație este ideală, iar ultima ipoteză este asociată cu cele mai mari dificultăți, dar permite o corectare a unei forme simple. Când integrăm funcția de luminozitate pe toate distanțele și mărimile mai luminoase decât m lim , avem

[1] [6]

unde A(m lim ) este egal cu numărul total de stele mai strălucitoare decât m lim . Dacă distribuția spațială a stelelor poate fi considerată uniformă, atunci această relație este simplificată și redusă la forma

[1] [6] Corecție în cadrul observațiilor în mai multe benzi

Metoda tradițională implică faptul că măsurătorile amplitudinii aparente și măsurătorile de la care sunt determinate distanțe sunt efectuate în același interval de lungimi de undă (de exemplu, în banda H, intervalul de lungimi de undă în intervalul infraroșu, în jur de 1300-2000 nm ), care conduce la o corecție în forma cσ 2 , unde c este o constantă. Din păcate, astfel de cazuri sunt rare, deoarece de obicei distanța până la obiecte este determinată din observații din alte intervale de lungimi de undă. De exemplu, galaxiile sunt adesea selectate din cataloagele de sondaje în banda B, cele mai complete sondaje, iar apoi sunt utilizate magnitudinele stelare aparente din această bandă, dar distanțele sunt determinate din dependența Tully-Fisher și în banda H. În acest caz, varianța este înlocuită cu o covarianță între parametrul de împrăștiere la distanță și de împrăștiere al galaxiilor (de exemplu, magnitudinea aparentă). [7]

Cântărire în volum

O altă metodă simplă de corecție este folosirea unei medii ponderate pentru a contabiliza contribuția relativă a fiecărei valori. Deoarece obiectele cu mărimi absolute diferite pot fi văzute la distanțe diferite, contribuția fiecărui punct la funcția de mărime absolută medie sau de luminozitate poate fi considerată cu o greutate de 1/V max , unde V max arată volumul maxim în care obiectele pot fi observat. Obiectele mai luminoase (cu magnitudini absolute mai mici) vor avea un volum mai mare in care pot fi detectate, si prin urmare vor avea o greutate mai mica, desi in general un astfel de grup va fi reprezentat de un numar mare de obiecte. [8] Volumul maxim poate fi reprezentat ca volumul unei sfere, a cărei rază este determinată din modulul de distanță de mărimea absolută a obiectului și de mărimea aparentă limită.

Există două dificultăți principale în determinarea V max . În primul rând, sondajul poate să nu acopere întregul cer, adică zona părții cerului în care sunt observate obiectele studiate ar trebui să fie luată în considerare. [8] Într-un studiu complet, obiectele sunt observate pe întreaga sferă cerească, dar în practică, sondajele complete sunt rare din cauza constrângerilor de timp ale observațiilor, precum și a restricțiilor geografice (o parte a cerului poate să nu fie vizibilă de la o anumită latitudine. ). În schimb, se fac observații pe o zonă mică a cerului, apoi se presupune o anumită distribuție a obiectelor (uniformă sau îngroșată spre planul Galaxiei), ceea ce permite extrapolarea observațiilor la întreaga sferă cerească. De asemenea, este posibil să scalați pur și simplu numărul de obiecte observate în funcție de zona părții observate a cerului. Impactul caracterului incomplet al revizuirii ar trebui să fie luat în considerare atunci când se compară diferite recenzii.

În al doilea rând, atunci când observăm obiecte îndepărtate, ar trebui să ținem cont de deplasarea cosmologică spre roșu și de expansiunea Universului . În acest caz, este necesar să se ia în considerare distanța de comodare , care este constantă între două obiecte, presupunând că acestea se mișcă unul față de celălalt doar datorită expansiunii Universului. Dacă neglijăm expansiunea Universului, atunci distanța însoțitoare poate fi considerată distanța dintre obiecte. Distanța asociată poate fi utilizată pentru a calcula volumul. Dacă deplasarea spre roșu este egală cu z , D A și V A sunt egale cu distanța și volumul (indiferent de măsurarea lor curentă), D C și V C sunt egale cu distanța și volumul de comutare, atunci

[9]

Un dezavantaj serios al ponderării volumului este sensibilitatea sa ridicată la structurile la scară mare, cum ar fi grupurile de stele sau golurile . [10] Prezența unei zone cu o densitate foarte mare sau foarte scăzută a obiectelor va introduce o schimbare semnificativă a funcției de magnitudine sau luminozitate absolută medie. Prezența neomogenităților la scară largă are cea mai mare influență asupra calculului obiectelor slabe, deoarece pentru ele volumele în care pot fi observate aceste obiecte sunt mici.

Metode de corectare mai complexe

Există o serie de metode mai corecte și consumatoare de timp pentru a lua în considerare părtinirea Malmquist. Unele dintre metode sunt enumerate mai jos cu o scurtă descriere; informații mai detaliate pot fi obținute din linkurile către articole.

Corecție maximă de probabilitate

Această metodă se bazează pe funcțiile de distribuție ale obiectelor, cum ar fi stelele sau galaxiile, care arată numărul așteptat de obiecte într-un anumit interval de parametri. Fiecare dintre parametrii obiectelor luate în considerare, cum ar fi mărimea aparentă a stelelor, distanța, are propria sa funcție de distribuție, conform căreia, în prezența unui generator de numere aleatoare, poate fi creat un eșantion teoretic de obiecte. Se presupune că funcția de distribuție a distanțelor este cunoscută, funcția de distribuție a mărimilor absolute poate varia. Este posibil să se compare diverse funcții de distribuție a mărimii absolute cu distribuția observată a obiectelor și să se găsească o astfel de funcție pentru care distribuția observată a obiectelor să fie cea mai probabilă. Dacă există anumite restricții privind capacitatea de a detecta obiecte, puteți obține o funcție de distribuție reală imparțială. Această metodă necesită o cantitate mare de calcule. [10] [11]

Metoda lui Schechter

Paul Schechter , în timp ce studia galaxiile, a descoperit relația dintre logaritmul lățimii liniei spectrale și magnitudinea aparentă a stelelor. [12] În mod ideal, liniile spectrale ar trebui să fie vârfuri infinit înguste, dar mișcarea unui obiect, cum ar fi rotația sau deplasarea de-a lungul liniei de vedere în raport cu observatorul, duce la lărgirea și deplasarea liniilor. Raportul a fost găsit pe baza raportului Tully-Fisher, care raportează distanța până la galaxie, mărimea aparentă și viteza (valoarea maximă pe curba de rotație ). Datorită lărgirii Doppler , logaritmul lățimii liniei spectrale observate poate fi legat de lățimea distribuției vitezei. Dacă considerăm că distanțele sunt bine cunoscute, atunci mărimea absolută și lățimea liniilor se dovedesc a fi strâns legate. [12] De exemplu, când se observă hidrogen neutru în linia de 21 cm , raportul este reprezentat ca o lege liniară

unde P este logaritmul lățimii liniei spectrale și α și β sunt constante.

Motivul pentru care această estimare este utilă este că linia de regresie inversă nu este supusă părtinirii Malmquist, efectul de selecție afectează doar magnitudinea. Valoarea așteptată a lui P dat M va fi imparțială, ceea ce va oferi o estimare nepărtinitoare a logaritmului distanței. [13]

Metode matematice mai avansate

Versiunile îmbunătățite ale metodelor de corecție se bazează pe ipoteze limitative suplimentare. Adesea, astfel de metode conduc la expresii matematice complexe aplicabile unor cazuri specifice. De exemplu, Luri și colab. au derivat o relație pentru deplasarea stelelor într-o galaxie, relaționând magnitudinea aparentă, magnitudinea absolută și înălțimea unei stele deasupra planului galaxiei. Aplicarea raportului oferă estimări mai corecte, dar necesită anumite ipoteze despre distribuția spațială a stelelor. [paisprezece]

Aplicație

Atunci când se utilizează eșantionarea cu amplitudine limitată, una dintre metodele de mai sus trebuie aplicată pentru a corecta părtinirea Malmquist. De exemplu, atunci când se derivă o funcție de luminozitate, se calibrează relația Tully-Fisher sau se determină constanta Hubble , biasul Malmquist poate influența foarte mult rezultatul.

Funcția de luminozitate arată numărul de stele sau galaxii dintr-un interval de unitate după luminozitate sau magnitudine absolută. Atunci când se utilizează o probă cu o limitare a mărimii aparente, numărul de obiecte slabe este subestimat, ceea ce deplasează vârful funcției de luminozitate în regiunea obiectelor cu o luminozitate mai mare și modifică forma funcției. De obicei, o metodă ponderată în funcție de volum este utilizată pentru a corecta părtinirea Malmquist, după care eșantionul este considerat limitat la distanță. [15] Figura din dreapta arată două funcții de luminozitate pentru un eșantion de stele limitate de magnitudinea aparentă. Curba punctată arată funcția de luminozitate fără corecția de polarizare Malmquist, curba albastră solidă arată funcția de luminozitate corectată. Prejudecata Malmquist afectează semnificativ forma curbei.

Dependența Tully-Fisher, care leagă luminozitatea galaxiilor cu viteza de rotație, este, de asemenea, afectată de părtinirea Malmquist. Dacă un cluster de galaxii din apropiere este folosit pentru a calibra relația și apoi raportul este aplicat unuia mai îndepărtat, atunci distanța până la clusterul îndepărtat va fi deplasată sistematic în jos. [13]

Alternative

Pentru a evita părtinirea Malmquist, au fost concepute mai multe metode alternative, dintre care unele vor fi prezentate mai jos.

Eșantionare limitată la distanță

Când se ia în considerare un eșantion de obiecte până la o anumită distanță, părtinirea Malmquist va fi absentă. [5] Într-un astfel de eșantion, volumul considerat va include toate tipurile de stele, funcțiile de distribuție și funcțiile de luminozitate nu vor fi distorsionate. În practică, această metodă este foarte dificil de implementat, deoarece determinarea distanțelor față de obiecte este asociată cu o serie de dificultăți. Chiar și în cazul determinării distanței folosind lumânări standard , estimările obținute au incertitudini. Cel mai adesea, eșantionarea completă a obiectelor până la o anumită distanță este posibilă numai la distanțe relativ mici.

Corecții Malmquist uniforme și neuniforme

Această metodă încearcă din nou să corecteze offset-ul, dar într-un mod diferit. În loc să fixeze magnitudini absolute, metoda consideră distanțele până la obiecte ca variabile aleatoare și apoi redimensionează aceste distanțe. [13] În loc să atribuiți distribuția corectă a magnitudinilor absolute stelelor din eșantion, metoda de deplasare a obiectelor este efectuată în așa fel încât distribuția distanțelor să se dovedească a fi corectă. În mod ideal, rezultatele ar trebui să se potrivească cu cele obținute cu metodele de corecție a mărimii. Atât în ​​metodele omogene, cât și în cele neomogene, părtinirea este definită în termeni de distribuție anterioară a distanțelor, estimarea distanței și funcția de probabilitate . În cazul omogen, distanțele inițiale sunt în cele din urmă înmulțite cu același factor. O astfel de metodă dă un rezultat inexact în prezența structurilor la scară largă și a efectelor de selecție observațională. În cazul neomogen, se încearcă să se ia în considerare astfel de efecte atunci când se creează o distribuție anterioară mai complexă care include neomogenități în distribuția observată. În ambele cazuri, se presupune o funcție de distribuție Gaussiană cu varianță constantă și medie egală cu logaritmul mediu adevărat al distanței. Limitele de aplicabilitate ale acestei metode sunt discutate, deoarece există o serie de incertitudini în măsurarea inițială a distanțelor la obiecte. [13]

Definiții alternative istorice

Termenul de părtinire Malmquist nu a fost întotdeauna aplicat efectului descris mai sus. În 2000, o serie de efecte statistice au fost numite în literatură prejudecată Malmquist. [16]

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Malmquist, Gunnar. Despre unele relații în statistica stelară // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. - 1922. - T. 16 , Nr. 23 . - S. 1-52 . - Cod biblic .
  2. ↑ Malmquist, Gunnar. O contribuție la problema determinării distribuției în spațiu a stelelor  //  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik : journal. - 1925. - Vol. 19A , nr. 6 . - P. 1-12 . - Cod biblic .
  3. ↑ Salpeter, Edwin. Funcția de luminozitate și evoluția stelară  //  The Astrophysical Journal  : journal. - Editura IOP , 1955. - Vol. 121 . — P. 161 . - doi : 10.1086/145971 . - Cod biblic .
  4. ↑ Wall, JV; Jenkins, CR Statistici practice pentru astronomi. — al 2-lea. - Cambridge, Marea Britanie: Cambridge University Press , 2012. - P. 189. - (Cambridge Observing Handbooks for Research Astronomers). - ISBN 978-0-521-73249-9 .
  5. ↑ 1 2 Sandage, Allan (noiembrie 2000), Malmquist Bias and Completeness Limits , în Murdin, P., The Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics , Bristol: Institute of Physics Publishing, Articolul 1940, ISBN 0-333-75088-8 , DOI 10.1888/0333750888/1940 . 
  6. ↑ 1 2 3 Butkevici, AG; Berdyugin, A.V.; Terrikorpi, P. Prejudecăți statistice în astronomia stelară. părtinirea Malmquist revizuită  (engleză)  // MNRAS  : journal. - 2005. - Septembrie ( vol. 362 , nr. 1 ). - P. 321-330 . - doi : 10.1111/j.1365-2966.2005.09306.x . - Cod .
  7. ↑ Gould, Andrew. Selecție, covarianță și părtinire Malmquist  //  The Astrophysical Journal  : jurnal. - Editura IOP , 1993. - August ( vol. 412 ). - P. 55-58 . - doi : 10.1086/186939 . - Cod biblic .
  8. ↑ 1 2 Blanton, Michael; Schlegel, DJ; Strauss, M.A.; Brinkmann, J.; Finkbeiner, D.; Fukugita, M.; Gunn, JE; Hogg, DW; Ivezic, Z.; Knapp, G. R.; Lupton, RH; Munn, JA; Schneider, D.P.; Tegmark, M.; Zehavi, I. New York University Value-Added Galaxy Catalog: A Galaxy Catalog Based on New Public Surveys  //  The Astronomical Journal  : journal. - Editura IOP , 2005. - Iunie ( vol. 129 , nr. 6 ). - P. 2562-2578 . - doi : 10.1086/429803 . - Cod biblic . - arXiv : astro-ph/0410166 .
  9. ↑ Hogg, David W. (dec 2000), Distance measurements in cosmology, arΧiv : astro-ph/9905116 . 
  10. ↑ 1 2 Blanton, Michael R.; Lupton, RH; Schlegel, DJ; Strauss, M.A.; Brinkmann, J.; Fukugita, M.; Loveday, J. The Properties and Luminosity Function of Extremely Low Luminosity Galaxies  //  The Astrophysical Journal  : journal. - Editura IOP , 2005. - Septembrie ( vol. 631 , nr. 1 ). - P. 208-230 . - doi : 10.1086/431416 . - Cod biblic . — arXiv : astro-ph/0410164 .
  11. ↑ Efstathiou, George; Frank, C.S.; Alb, SDM; Davis, M. Gravitational clustering from scale-free initial conditions  // MNRAS  :  journal. - 1988. - Decembrie ( vol. 235 ). - P. 715-748 . - doi : 10.1093/mnras/235.3.715 . - Cod .
  12. ↑ 1 2 Schechter, PL Raportul masă-lumină pentru galaxii eliptice  // Astronomical Journal  :  journal. - 1980. - iulie ( vol. 85 ). - P. 801-811 . - doi : 10.1086/112742 . - Cod biblic .
  13. ↑ 1 2 3 4 Hendry, MA; Simmons, JFL & Newsam, AM (oct. 1993), Ce înțelegem prin „Malmquist Bias”?, arΧiv : astro-ph/9310028 . 
  14. ↑ Luri, X.; Mennessier, MO; Torra, J.; Figueras, F. O nouă abordare a părtinirii Malmquist  // Astronomie și Astrofizică  : jurnal  . - 1993. - ianuarie ( vol. 267 ). - P. 305-307 . - Cod biblic .
  15. ↑ Binney, James; Merrifield, Michael. Astronomie Galactică. - Princeton University Press , 1998. - S. 111-115.
  16. ↑ Murdin, Paul. Malmquist, Gunnar (1893-1982) // Enciclopedia de astronomie și astrofizică  (engleză) . - 2000. - ISBN 0-333-75088-8 . - doi : 10.1888/0333750888/3837 .