Convergența distribuției

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 ianuarie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Convergența distribuției în teoria probabilității este un tip de convergență a variabilelor aleatoare .

Definiție

Să fie date un spațiu de probabilitate și variabile aleatoare definite pe acesta . Fiecare variabilă aleatoare induce o măsură de probabilitate pe , numită distribuția sa . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X,X_{n}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{m},\,n=1,2,\ldots$ $\mathbb {R} ^{m}$

Variabilele aleatoare converg în distribuție către o variabilă aleatoare dacă distribuțiile converg slab către distribuție , adică $X_n$ $X$ ${\mathbb {P}}^{{X_{n}}}$ $\mathbb {P} ^{X}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{ X_{n}}}(dx)=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X}}( dx)

pentru orice funcție continuă mărginită [1] [2] . $f:{\mathbb {R}}^{m}\la {\mathbb {R}}$

Note

Folosind teorema de modificare a măsurii integrale Lebesgue , ultima egalitate poate fi rescrisă după cum urmează:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}f(X_{n})={\mathbb {E}}f(X)

Limita de distribuție nu este unică. Dacă distribuțiile a două variabile aleatoare sunt identice, atunci ele sunt sau nu o limită a distribuției unei secvențe de variabile aleatoare.

Proprietăți ale convergenței în distribuție

Variabilele aleatoare converg în distribuție la dacă funcțiile lor de distribuție converg către funcția de distribuție limită în toate punctele de continuitate ale acesteia din urmă: $X_n$ $X$ $F_{{X_{n}}}$ $F_{X}$

F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{{n\to \infty }}F_{{X_{n}}}(x)=F_{X}(x)

Dacă toate variabilele aleatoare din definiție sunt absolut continue și densitățile lor converg:

\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{{X_{n}}}(x)\to f_{X}(x)

aproape peste tot , apoi . În general, invers nu este adevărat!

X_{n}\la ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))))X

Convergența în probabilitate (și, prin urmare, aproape sigur în ) implică convergența în distribuție : $L^{p}$

X_{n}\la ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}X\Rightarrow X_{n}\la ^{{\!\!\! \!\!\!\!{\mathcal {D}}}}X

. În general, invers nu este adevărat.

Vezi și

teorema lui Slutsky

Note

↑ ro:Convergence_of_random_variables#Convergence_in_distribution
↑ ro:Convergence_of_measures#Weak_convergence_of_measures