Calcul de umbră

Shadow calculus (din engleză Umbral calculus , mai departe din latinescul umbra - „umbră”) este o metodă matematică de obținere a unor identități algebrice. Până în anii 1970, termenul se referea la asemănarea anumitor identități algebrice aparent neînrudite , precum și la tehnicile folosite pentru a dovedi acele identități. Aceste tehnici au fost propuse de John Blissard [1] și sunt uneori denumite metoda simbolică a lui Blissard . Ele sunt adesea atribuite lui Edward Lucas (sau James Joseph Sylvester ) care le-a folosit pe scară largă [2] .

În anii 1930 și 1940, Eric Temple Bell a încercat să pună calculul umbră pe o bază strictă.

În anii 1970 Stephen Roman, Gian-Carlo Rota și alții au dezvoltat calculul umbrei în sensul funcționalelor liniare pe spațiul polinoamelor. În prezent, calculul umbră se referă la studiul secvențelor Schaeffer , inclusiv secvențe de polinoame de tip binomial și secvențe Appel , dar poate include tehnici de calcul cu diferențe finite .

Calcul de umbre în secolul al XIX-lea

Metoda este o procedură de notare utilizată pentru identitățile rezultate care implică secvențe de numere indexate, presupunând că indicii sunt puteri ale . Utilizarea literală este absurdă, dar funcționează cu succes - identitățile obținute folosind calculul umbră pot fi obținute corect folosind metode mai complexe care pot fi folosite literal fără dificultăți logice.

Exemplul folosește polinoame Bernoulli . Luați în considerare, de exemplu, expansiunea binomială obișnuită (care conține coeficienți binomiali ):

{\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}y^{nk}x^{k))

și o relație de aspect remarcabil de similară pentru polinoamele Bernoulli :

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}B_{nk}(y)x^{k}.

De asemenea, comparăm prima derivată

{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

cu o relație foarte similară pentru polinoamele Bernoulli:

{\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Aceste asemănări permit construirea unor dovezi în umbră care, la prima vedere, pot să nu fie adevărate, dar încă funcționează. Deci, de exemplu, dacă considerăm că indicele este un grad: $nk$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}b^{nk}x^{k}=(b+x)^{n},

după diferențiere, obținem rezultatul dorit:

B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

În formulele de mai sus este „umbra” (cuvântul latin pentru „umbră”). $b$

Vezi și formula Faulhaber .

Umbra lui Taylor se clasează

Conexiuni similare au fost observate și în teoria diferențelor finite . Versiunea umbră a seriei Taylor este dată de expresii similare folosind diferențele din partea dreaptă a polinomului , $k$ $\Delta ^{k}[f]$ $f$

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!))(x)_{k}

Unde

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

este simbolul Pochhammer , folosit aici pentru a reprezenta factorialul descrescător. O relație similară este valabilă pentru diferențele din stânga și factorii crescători.

Aceste serii sunt cunoscute și ca seria lui Newton sau expansiunea din dreapta lui Newton . Un analog al expansiunii Taylor este utilizat în calculul diferențelor finite .

Bell și Riordan

În anii 1930 și 1940, Eric Temple Bell a încercat fără succes să facă acest tip de argument riguros din punct de vedere logic. John Riordan, care a lucrat în domeniul combinatoriei, a folosit această tehnică pe scară largă în cartea sa Combinatorial Identities (Combinatorial Identities), publicată în anii 1960.

Calcul modern al umbrelor

Un alt om de știință din domeniul combinatoriei, Gian-Carlo Rota, a subliniat că misterul dispare dacă luăm în considerare o funcțională liniară peste polinoame din , definită ca $L$ $z$

L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.

Apoi, folosind definiția polinoamelor Bernoulli și definiția liniarității , se poate scrie $L$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}B_{nk}x^{k}=\sum _{k=0}^{n }{n \alegeți k}L\left(z^{nk}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}z^{ nk}x^{k}\right)=L\left((z+x)^{n}\right).

Acest lucru vă permite să înlocuiți intrarea cu , adică să treceți de la indexul inferior la cel superior (operația cheie a calculului umbră). De exemplu, acum putem demonstra asta $B_{n}(x)$ $L((z+x)^{n})$ $n$

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}B_{nk}(y)x^{k)

prin extinderea laturii drepte

\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}B_{nk}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}L\left((z+y)^{nk}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}(z+y) )^{nk}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).

Rota a susținut ulterior că o mare parte a confuziei a provenit din eșecurile de a face distincția între cele trei relații de echivalență care apar în acest domeniu.

Într-o lucrare din 1964, Rota a folosit metode umbre pentru a stabili o formulă de recursivitate care este satisfăcută de numerele Bell , care numără numărul de partiții ale mulțimilor finite.

În articolul lui Roman și Rota [3] , calculul de umbre este descris ca studiul unei algebre de umbră (algebră umbrală) definită ca o algebră a funcționalelor liniare peste un spațiu vectorial de polinoame cu un produs al funcționalelor liniare definite ca $X$ $L_{1}L_{2}$

\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \alegeți k}\langle L_{1}\mid x ^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{nk}\rangle .

Dacă o secvență de polinoame înlocuiește o secvență de numere ca imagini sub o mapare liniară , metoda umbrei pare a fi o parte esențială a teoriei generale a polinoamelor speciale a lui Roth, iar această teorie este calculul umbrelor în cadrul unor definiții mai moderne ale termenului [4]. ] . Un mic exemplu al acestei teorii poate fi găsit în articolul despre succesiunea de polinoame de tip binom . Un alt articol este Schaeffer Sequence . $y^{n)$ $L$

Rota a aplicat mai târziu calculul umbrei într-o lucrare comună cu Shen pentru a studia diferite proprietăți combinatorii ale semi-invarianților [5] .

Note

↑ Blissard, 1861 .
↑ Bell, 1938 , p. 414–421.
↑ Roman, Rota, 1978 , p. 95–188.
↑ Rota, Kahaner, Odlyzko, 1973 , p. 684.
↑ Rota, Shen, 2000 , p. 283–304.

Literatură

Bell ET Istoria metodei simbolice a lui Blissard, cu o schiță a vieții inventatorului său // The American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America , 1938. - V. 45 , nr. 7 . — S. 414–421 . — ISSN 0002-9890 . — .
John Blissard. Teoria ecuațiilor generice // Jurnalul trimestrial de matematică pură și aplicată. - 1861. - T. 4 . — S. 279–305 .
Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. Calculul umbral // Progrese în matematică. - 1978. - T. 27 , nr. 2 . — S. 95–188 . — ISSN 0001-8708 . - doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 .
Rota GC, Kahaner D., Odlyzko A. Pe fundamentele teoriei combinatorii. VIII. Calcul cu operator finit // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. - 1973. - Iunie ( vol. 42 , numărul 3 ). - S. 684 . - doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Retipărit în cartea cu același titlu, Academic Press, New York, 1975.

Steve Roman. Calculul umbral . — Londra: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. - Vol. 111. - (Matematică pură și aplicată). — ISBN 978-0-12-594380-2 . . Retipărit de Dover, 2005.
Roman S. Umbral calculus // Enciclopedia de matematică / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Rota G.-C. , Shen J. Despre combinatoria cumulantilor // Journal of Combinatorial Theory. - 2000. - T. 91 . — S. 283–304 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
A. Di Bucchianico, D. Loeb. Un studiu selectat al calculului umbral // Electronic Journal of Combinatorics . - 2000. - T. DS3 . Arhivat din original pe 24 februarie 2012.
Roman, S. (1982), Teoria calculului umbral, I