Teorema lui Abel

Teorema lui Abel este un rezultat al teoriei serii de puteri , numită după matematicianul norvegian Niels Abel . Inversul acesteia este teorema Abel-Tauber .

Declarație

Fie o serie de puteri cu coeficienți complexi și rază de convergență . $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n)$ $R$

Dacă seria este convergentă atunci: $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n)$

\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}

Dovada

O schimbare a variabilelor poate fi luată în considerare . De asemenea (prin selectarea necesară a ) putem presupune . Să notăm sumele parțiale ale seriei . Conform ipotezei şi este necesar să se demonstreze că . $u=x/R$ $R=1$ $a_{0}$ $\textstyle \sum a_{n}=0$ $S_{n}$ $\textstyle \sum a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$

Luați în considerare . Apoi (presupunând că ): $x\in[0,1]$ $S_{-1}=0$

\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n} (x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.

De aici se dovedește . $\textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n)$

Pentru un arbitrar există un număr natural , care este pentru toți , deci: $\varepsilon >0$ $N_{0}$ $|S_{n}|\leq \varepsilon$ $n>N_{0)$

\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0} ^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.

Partea dreaptă tinde spre când tinde spre 1, în special este mai mică când ajunge la 1. $\varepsilon$ $X$ $2\varepsilon$ $X$

Exemple

Exemple 1

Să luăm . Deoarece seria converge, avem: $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1 +x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{ n}}

Exemplele 2

Să luăm . Deoarece seria converge, avem: $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan (X)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\ frac {(-1)^{n}}{2n+1}}

Link -uri

Abel summability (engleză) pe site-ul PlanetMath . (o privire mai generală asupra teoremelor abeliene de acest tip)
Weisstein, Teorema de convergență a lui Eric W. Abel (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .