Teorema de compactitate Gromov (geometrie riemanniană)

Teorema de compactitate a lui Gromov sau Teorema de alegere a lui Gromov afirmă că mulțimea de varietăți riemanniene de o dimensiune dată cu curbura Ricci ≥ c și diametrul ≤ D este relativ compactă în metrica Gromov–Hausdorff .

Istorie

Teorema a fost demonstrată de Gromov , [1] inegalitatea Bishop-Gromov este folosită în demonstrație .

Apariția acestei teoreme a determinat studiul spațiilor Alexandrov cu curbură mărginită mai jos în dimensiunile 3 și mai mari și, mai târziu, spații generalizate cu curbura Ricci mărginită mai jos.

Variații și generalizări

Teorema este o generalizare a teoremei lui Myers .

Teorema lui Gromov este o consecință a următoarei afirmații.

Orice familie de spații metrice delimitată universal este relativ compactă în metrica Gromov-Hausdorff.
- Se spune că o familie de spații metrice este universal complet mărginită dacă pentru oricare există un număr întreg pozitiv astfel încât orice spațiu din admite o rețea de cel mult puncte. $X$ $\varepsilon >0$ $N(\varepsilon)$ $X$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$

Vezi și

teorema alegerii lui Blaschke

Note

↑ Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes , voi. 1, Textes Mathématiques [Texte matematice], Paris: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8

Literatură

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Curs de geometrie metrică. - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - 512 p. — ISBN 5-93972-300-4 .