Tensorul Ricci

Tensorul Ricci , numit după Ricci-Curbastro , specifică una dintre modalitățile de măsurare a curburii unei varietăți , adică gradul în care geometria unei varietăți diferă de geometria unui spațiu euclidian plat . Tensorul Ricci, la fel ca și tensorul metric , este o formă biliniară simetrică pe spațiul tangent al unei varietăți Riemanniane . În linii mari, tensorul Ricci măsoară deformația de volum , adică gradul în care regiunile n - dimensionale ale unei varietăți n - dimensionale diferă de regiuni similare ale spațiului euclidian. Vezi semnificația geometrică a tensorului Ricci.

Notat de obicei prin sau . $\mathrm {Ric}$ $\mathrm {Rc}$

Definiție

Fie o varietate Riemanniană n - dimensională și fie spațiul tangent la M în punctul p . Pentru orice pereche de vectori tangenți la p , tensorul Ricci , prin definiție, se mapează la urma unui automorfism liniar dat de tensorul de curbură Riemann R : $(M,g)$ $T_{p}M$ $\xi ,\eta \in T_{p}M$ ${\mathrm {Ric}}(\xi ,\eta )$ $(\xi ,\eta )$ $T_{p}M\la T_{p}M$

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Dacă coordonatele locale sunt date pe varietate, atunci tensorul Ricci poate fi extins în componente:

\operatorname {Ric}=R_{{ij}}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

unde este urma tensorului Riemann în reprezentarea în coordonate. $R_{{ij}}={R^{k}}_{{ikj}}.$

Sensul geometric

Într-o vecinătate a oricărui punct p al unei varietăți riemanniene , se pot defini întotdeauna coordonate locale speciale, așa-numitele coordonate geodezice normale , în care geodezicele din punctul p coincid cu liniile care trec prin origine. De asemenea, în punctul p însuși, tensorul metric este egal cu metrica spațiului euclidian (sau metrica Minkowski în cazul unei varietăți pseudo-riemanniene ). $(M,g)$ $\delta _{{ij}}$ $\eta _{{ij}}$

În aceste coordonate speciale , forma volumului se extinde într- o serie Taylor în jurul p :

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{ 3}){\Big ]}d\mu _{\text{Euclid))

Astfel, dacă curbura Ricci este pozitivă în direcția vectorului , atunci conul îngust de geodezice care emană din punctul p în direcția va avea un volum mai mic decât același con din spațiul euclidian. În mod similar, dacă curbura Ricci este negativă, atunci conul îngust de geodezice în direcția vectorului va avea un volum mai mare decât cel euclidian. ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ $\xi$ $\xi$ $\xi$

Curbura Ricci și geometria în general

Să existe o varietate Riemanniană completă -dimensională cu $M$ $n$ $\operatorname {Ric}_{M}\geq (n-1)\kappa$

Inegalitatea Episcop-Gromov . Fie , notăm cu volumul unei bile de rază centrată pe , notăm cu volumul unei bile de rază în spațiu dimensional de curbură constantă . Apoi relația $p\în M$ $v_{p}(r)$ $r$ $p$ ${\tilde v}(r)$ $r$ $n$ $\kappa$ ${\frac {v_{p}(r)}{{\tilde v}(r)))$

este o funcție necrescătoare a .

r

teorema lui Meyer
Din identitatea Bochner pentru formele 1 rezultă că, dacă atunci valorile proprii ale Laplacianului nu sunt mai mici decât cele ale sferei unității-dimensionale. $\kappa =1$ $M$ $n$

Aplicații ale tensorului Ricci

Tensorul de curbură Ricci în relativitatea generală servește ca o componentă cheie a ecuațiilor lui Einstein .

Curbura Ricci apare, de asemenea, în ecuația de curgere Ricci , în care metrica dependentă de timp se deformează proporțional cu curbura Ricci minus.

Tensorul Ricci

Definiție

Sensul geometric

Curbura Ricci și geometria în general

Aplicații ale tensorului Ricci

Vezi și