Teorema lui Dirichlet asupra aproximărilor diofantine

Teorema lui Dirichlet asupra aproximărilor diofantine afirmă că [1]

Pentru orice număr real și Q natural , există numere întregi p și q , care îndeplinesc condiția $\alfa$ $1\leqslant q\leqslant Q$

|\alpha qp|<{\frac {1}{Q)}

Este o consecință a principiului Dirichlet . Teorema a fost demonstrată de Dirichlet în 1842.

Unele consecințe

Fie un număr irațional . Atunci există o mulțime infinită de fracții ireductibile infinit apropiate în următorul sens [1] : $\alfa$ ${\frac {p}{q)),$ $\alfa$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2)}}

Construcția practică a unor astfel de aproximări este ușor de realizat folosind fracții continuate .

Variații și generalizări

Principiul Dirichlet ne permite să demonstrăm o teoremă mai generală:

pentru orice numere reale și naturale există numere întregi astfel încât $\alpha _{1},...,\alpha _{n)$ $Q>1$ $0<q<Q,a_{1},...,a_{n)$

|\alpha _{i}q-a_{i}|<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{Q)))

Note

↑ 1 2 Nesterenko Yu. V., 2008 , p. 187-189.

Literatură

Nesterenko Yu. V. Teoria numerelor: un manual pentru studenți. superior manual stabilimente. - M . : Centrul de Editură „Academia”, 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .