Teorema continuității uniforme sau teorema Cantor - Heine spune că o funcție continuă definită pe o mulțime compactă este uniform continuă pe aceasta.
Fie date două spații metrice și Fie, de asemenea, o submulțime compactă și o funcție continuă definită pe ea. Atunci este uniform continuă pe
Să folosim dovada prin contradicție.
Fie o funcție care îndeplinește condițiile teoremei (pe o mulțime compactă ), dar nu este uniform continuă pe ea. Atunci există astfel încât pentru toți există astfel de și , distanța dintre care este mai mică decât , dar distanța dintre imaginile lor nu este mai mică de :
darSă luăm o secvență care converge la 0, de exemplu, . Construim secvențe și așa că
, dareste compactă, deci putem selecta o subsecvență convergentă:
Dar, deoarece distanța dintre membrii ambelor secvențe tinde spre zero, atunci, folosind inegalitatea triunghiului, obținem că subsecvențele corespunzătoare tind către un punct: . Și, deoarece este continuă , ceea ce contrazice presupunerea că .
Prin urmare, o funcție care este continuă pe un compact este într-adevăr uniform continuă pe aceasta.
Definiția continuității uniforme apare în lucrarea lui Heine . [1] Doi ani mai târziu, el publică o demonstrație a teoremei pentru funcții definite pe un interval mărginit închis. [2] În aceste lucrări, el nu pretinde a fi original, iar dovada sa repetă practic dovada lui Dirichlet publicată de el în prelegerile sale din 1854.
Contribuția principală pare să vină de la Bolzano . [3]