Teorema de continuitate uniformă

Teorema continuității uniforme sau teorema Cantor - Heine spune că o funcție continuă definită pe o mulțime compactă este uniform continuă pe aceasta.

Formulare

Fie date două spații metrice și Fie, de asemenea, o submulțime compactă și o funcție continuă definită pe ea. Atunci este uniform continuă pe $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$ $A\subset X$ $f\colon A\la Y.$ $f$ $A.$

Note

În special, o funcție continuă cu valoare reală definită pe un segment este uniform continuă pe acesta. $f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

În condițiile teoremei, mulțimea compactă nu poate fi înlocuită cu o mulțime deschisă arbitrară. De exemplu, funcția $f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)$

este continuă pe întregul domeniu de definiție, dar nu este uniform continuu. Dovada

Să folosim dovada prin contradicție.

Fie o funcție care îndeplinește condițiile teoremei (pe o mulțime compactă ), dar nu este uniform continuă pe ea. Atunci există astfel încât pentru toți există astfel de și , distanța dintre care este mai mică decât , dar distanța dintre imaginile lor nu este mai mică de : $f(x)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta>0$ $X$ $y$ $\delta$ $\varepsilon$

\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{{\delta )),y_({\delta }}\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,

dar

d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .

Să luăm o secvență care converge la 0, de exemplu, . Construim secvențe și așa că $\{\delta _{k}\}$ $\left\{{\frac {1}{k}}\right\}$ $x_k$ $y_{k}$

d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k))

, dar

d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon

$A$ este compactă, deci putem selecta o subsecvență convergentă:

x_{k_{j}}\la {\bar {x}}\în A.

Dar, deoarece distanța dintre membrii ambelor secvențe tinde spre zero, atunci, folosind inegalitatea triunghiului, obținem că subsecvențele corespunzătoare tind către un punct: . Și, deoarece este continuă , ceea ce contrazice presupunerea că . ${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$ $f$ $f(x_{{k_{j}}})\la f(\zeta),\quad f(y_{{k_{j}}})\la f(\zeta)\Rightarrow d(f(x_{{ k_{j}}}),f(y_{{k_{j}}}))\la 0$ $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$

Prin urmare, o funcție care este continuă pe un compact este într-adevăr uniform continuă pe aceasta.

Istorie

Definiția continuității uniforme apare în lucrarea lui Heine . [1] Doi ani mai târziu, el publică o demonstrație a teoremei pentru funcții definite pe un interval mărginit închis. [2] În aceste lucrări, el nu pretinde a fi original, iar dovada sa repetă practic dovada lui Dirichlet publicată de el în prelegerile sale din 1854.

Contribuția principală pare să vină de la Bolzano . [3]

Literatură

↑ Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353–365
↑ Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172–188.
↑ Rusnock, Paul și Angus Kerr-Lawson. „Bolzano și continuitate uniformă”. Historia matematica 32.3 (2005): 303-311.