Continuitate uniformă

Continuitatea uniformă este proprietatea unei funcții de a fi la fel de continuă în toate punctele din domeniul definiției. În analiza matematică acest concept este introdus pentru funcţiile numerice , în analiza funcţională este generalizat la spaţii metrice arbitrare .

Conceptul de continuitate înseamnă clar că mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției. Proprietatea continuității uniforme impune o condiție suplimentară: valoarea care limitează abaterea valorii argumentului trebuie să depindă numai de valoarea abaterii funcției, dar nu și de valoarea argumentului, adică trebuie să fie potrivit pentru întregul domeniu al funcției.

Continuitatea uniformă a funcțiilor numerice

Definiție

O funcție numerică a unei variabile reale este uniform continuă dacă [1] : $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\bigl (} |x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr ) },

unde sunt cuantificatorii de universalitate și respectiv de existență și este implicația . $\forall ,\exists$ $\Sageata dreapta$

Note

Este important ca alegerea să depindă numai de amploare și să fie potrivită pentru orice - acest lucru distinge continuitatea uniformă de continuitatea obișnuită. $\delta$ $\varepsilon$ $x_{1},x_{2}$

Definiția de mai sus se generalizează cu ușurință în cazul funcțiilor mai multor variabile [2] .

Exemple

Funcţie

f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)

este continuă pe întregul domeniu al definiției, dar nu este uniform continuu, deoarece pentru orice (arbitrar de mic) se poate specifica un astfel de segment al valorilor argumentului că la capetele sale valorile funcției vor diferi mai mult. decât prin.. Acest lucru se datorează faptului că panta graficului funcției în jurul zero crește la nesfârșit. $\varepsilon >0$ $X$ $\varepsilon.$

Un alt exemplu: funcția

f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )

este continuă de-a lungul întregii drepte numerice, dar nu este uniform continuă, deoarece

\lim _{x\to \infty }{\Big (}f{\big (}x+{\frac {a}{x}}{\big )}-f(x){\Big )} =\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.

Este întotdeauna posibil să alegeți o valoare pentru orice segment de lungime arbitrar mică - astfel încât diferența dintre valorile funcției de la capetele segmentului să fie mai mare . În special, pe segment, diferența de valori al funcției tinde să $\varepsilon >0$ $\varepsilon /x$ $f(x)=x^{2}$ $\varepsilon.$ $\left[x,x+{\frac {\varepsilon {x}}\right]$ $2\varepsilon .$

Proprietăți

Din definiție decurg imediat trei proprietăți:

O funcție uniform continuă pe o mulțime este continuă pe aceasta. $M$
- Reversul este adevărat dacă este
compact . $M$

O funcție uniform continuă pe o mulțime va fi uniform continuă pe orice submulțime a acesteia.

O funcție care este uniform continuă pe un interval mărginit este întotdeauna mărginită pe acest interval [3] . Pe un interval infinit, o funcție uniform continuă poate să nu fie mărginită (de exemplu, pe un interval ).

\ln x

x\in (1;+\infty )

Câteva criterii pentru continuitatea uniformă a unei funcții

Teorema de continuitate uniformă ( Cantor - Heine ): o funcție care este continuă pe un interval finit închis (sau pe orice mulțime compactă) este uniform continuă pe ea. Mai mult, dacă intervalul finit închis este înlocuit cu unul deschis , funcția poate să nu fie uniform continuă.
Suma, diferența și compoziția funcțiilor uniform continue sunt uniform continue [4] . Totuși, produsul funcțiilor uniform continue poate să nu fie uniform continuu. De exemplu [5] , fie Ambele funcții să fie uniform continue la , dar produsul lor nu este uniform continuu pe . Pentru un interval mărginit, produsul funcțiilor uniform continue este întotdeauna uniform continuu [3] . $f(x)=x;\g(x)=\ln(x).$ $x\geqslant 1$ $[1,+\infty )$
Dacă o funcție este definită și continuă pe și există o limită finită , atunci funcția este uniform continuă pe . Cu alte cuvinte, o funcție definită pe un semi-interval infinit poate să nu fie uniform continuă numai dacă limita ei la infinit nu există sau este infinită [6] . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)$ $[a,+\infty)$
O funcție monotonă mărginită , continuă pe interval (sau pe întreaga linie reală), este uniform continuă pe acest interval [7] .
O funcție care este continuă pe întreaga dreaptă numerică și periodică este uniform continuă pe întreaga dreaptă numerică [8] .
O funcție care are o derivată mărginită pe un interval este uniform continuă pe acest interval [9] .

Continuitatea uniformă a mapărilor spațiilor metrice

Definiție

Fie date două spații metrice și $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$

O mapare se numește uniform continuă pe o submulțime dacă [4] : $f\coloan X\la Y$ $M\subsetX,$

\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\big (} \rho _{X}(x_{1},x_{2})<\delta {\big )}\Rightarrow {\big (}\rho _{Y}{\big (}f(x_{1}) ,f(x_{2}){\big )}<\varepsilon {\big )}.

Proprietăți

O funcție uniform continuă pe o mulțime este continuă pe aceasta. În general, invers nu este adevărat. $M$
Teorema de continuitate uniformă : O funcție care este continuă pe un compact este uniform continuă pe aceasta.
Orice mapare Lipschitz este uniform continuă.
Suma, diferența și compoziția mapărilor uniform continue sunt uniform continue [4] .

Vezi și

Note

↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 178-180.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 370-372.
↑ 1 2 Butozov și colab. , p. unsprezece.
↑ 1 2 3 Enciclopedia matematică, 1984 , p. 786.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 528 (alin. 2.7).
↑ Butozov și colab. , p. 6.
↑ Butozov și colab. , p. 7.
↑ Butozov și colab. , p. zece.
↑ Butozov și colab. , p. opt.

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. Ediţia a II-a. M.: FAZIS 1997.
Kolmogorov A. Η. , Φomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, ed. a V-a, M., 1981.
Kudryavtsev L. D. Continuitate uniformă // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 786. - 1216 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 p.
Shibinsky VM Exemple și contraexemple în cursul analizei matematice. Tutorial. - M . : Şcoala superioară, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Link -uri

Butuzov V. F. , Levashova N. T., Shapkina N. E. Continuitatea uniformă a funcțiilor unei variabile. Manual pentru studenții anului I al Departamentului de Fizică a Universității de Stat din Moscova . Preluat: 3 mai 2019. (nedefinit)