Teorema Carathéodory-Toeplitz

Teorema Carathéodory-Toeplitz este o teoremă în analiza matematică numită după matematicienii Constantin Carathéodory și Otto Toeplitz :

Fie cercul unitar din planul complex $\Delta :=\{z\,:\,|z|<1\}$ $\mathbb {C} .$

Mulțimea tuturor funcțiilor cu o parte reală pozitivă și o normalizare care mapează un cerc la semiplanul drept se numește clasa Carathéodory și se notează cu $h(z)$ $\Delta$ $h(0)=1,$ $\Delta$ $C.$

Carathéodory și Toeplitz au rezolvat problema descrierii exacte a setului de valori a sistemului de coeficienți în care se află clasa. $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in \mathbb {N} ,$ $C.$

Setul de valori ale sistemului de coeficienți de pe clasă este o mulțime de puncte mărginite convexe închise ale spațiului euclidian complex -dimensional pentru care determinanții $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\în {\mathbb N}$ $C$ $K_n$ $n$ ${\mathbb C}^{n}$

\det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k)),\qquad 1\leqslant k\leqslant n,

Unde

a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{ji},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij)}} ,\quadj<i,

fie toate sunt pozitive, fie sunt pozitive până la un număr, începând de la care sunt egale cu zero. Acest din urmă caz corespunde faptului că punctul aparține graniței corpului de coeficienți.Fiecărui punct limită al acestui corp îi corespunde o singură funcție a clasei, care are forma unei combinații liniare convexe. $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n})$ $\partial K_{n)$ $K_{n}.$ $C,$

h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}

cu coeficienţi şi şi pentru $\alpha _{\nu },$ $1\leqslant k\leqslant n$ $\varphi _{\nu }\neq \varphi _{\mu )$ $\mu \neq \nu ,$ $\mu ,\nu =1,\ldots ,n.$

Vezi și

Teorema Carathéodory-Fejer .

Literatură

Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~193-217.
Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191-192.