Teorema cu două serii a lui Kolmogorov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 august 2017; verificarea necesită 1 editare .

Teorema cu două serii a lui Kolmogorov în teoria probabilității stabilește o condiție suficientă pentru convergența cu probabilitatea una dintr-o serie de variabile aleatoare independente . Teorema cu două serii a lui Kolmogorov poate fi folosită pentru a demonstra legea puternică a numerelor mari .

Pentru ca o serie de variabile aleatoare independente să convergă cu probabilitatea unu , este suficient ca două serii să convergă simultan: și . Dacă, în plus, , atunci este necesară și această condiție. $\sum \xi _{n)$ $\sum M\xi _{n}$ $\sum D\xi _{n)$ $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$

Dovada

Dacă , atunci converge conform teoremei de convergență Kolmogorov-Khinchin . Dar, prin presupunere, seria converge, deci și seria converge . $\sum D\xi _{n}<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ $M\xi _{n)$ $\sum \xi _{n)$

Pentru a demonstra necesitatea, folosim următoarea metodă de „simetrizare”. Împreună cu secvența, luați în considerare o secvență de variabile aleatoare independente de aceasta, astfel încât să aibă aceeași distribuție ca și . $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...$ $\xi _{n}^{'}$ $\xi _{n},n\geqslant 1$

Apoi, dacă seria converge , atunci seria converge și, prin urmare, seria . Dar de asemenea . Prin urmare, conform teoremei de convergență Kolmogorov-Khinchin . $\sum \xi _{n)$ $\sum \xi _{n}^{'}$ $\sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})$ $M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ $P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$ $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$

Următorul . Prin urmare, conform teoremei de convergență Kolmogorov-Khinchin , seria converge cu probabilitatea unu și, prin urmare, seria converge și ea . $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ $\sum M\xi _{n}$

Deci, din convergența seriei (sub ipoteza rezultă că atât seria cât și converg. $\sum \xi _{n)$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ $\sum M\xi _{n}$ $\sum D\xi _{n)$

Literatură

Shiryaev A. N. Probabilitate. - Ed. a 3-a, revizuită. și suplimentar .. - M . : MTSNMO , 2004. (Capitolul 4 § 2 secțiunea 1)