Teorema lui Cayley (teoria grupurilor)

În teoria grupurilor , teorema lui Cayley afirmă că orice grup finit este izomorf la un subgrup al grupului de permutare a mulțimii de elemente din acel grup. În acest caz, fiecare element este comparat cu permutarea dată de identitate unde g este un element arbitrar al grupului G . $(G,\circ )$ $a\în G$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}(g)=a\circ g,$

Dovada

Fie un grup finit de ordine . Trebuie să construim un izomorfism din subgrupul de permutare . Pentru a face acest lucru, este suficient să asociați fiecărui element g din grupul G o permutare a elementelor lui G în sine (se poate identifica o permutare a lui G cu o permutare a oricărei alte mulțimi folosind o corespondență unu-la-unu a elementelor lor) . Cu alte cuvinte, trebuie să construiți o funcție , unde este o colecție de permutări ale lui G. Grupul este determinat folosind înmulțirea din stânga . $G$ $n$ $G$ $S_{n}$ $\varphi:G\rightarrow S_{G}$ $S_{G}$ $\varphi (g):G\rightarrow G$ $(\varphi (g))(x)=gx$

Să demonstrăm că am obținut o permutare. Dacă , atunci , deoarece G este un grup, în special, toate elementele sale sunt inversabile (există ). Mai mult, acțiunea asupra unui element al grupului x este egală și aceasta este egală având în vedere asociativitatea lui G. În fine, dacă atunci atunci și deci este injectivă (1-1). $gx=gy$ $x=y$ $g^{{-1}}$ $\varphi (gh)$ $\ (\varphi (gh))(x)=(gh)x$ $\varphi (g)(\varphi (h)(x))=\varphi (g)(hx)=g(hx)$ $\varphi (g)=\varphi (h)$ $g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h$ $\varphi$

Exemplu

Luați în considerare un grup cu o operațiune dată Găsiți maparea acestuia în adică găsiți un subgrup izomorf $G=\mathbb {Z} _{4)$ $+.$ $S_{4},$ $S_{4},$ $G.$

Să definim maparea $\varphi:\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4)$

\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}

\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}

\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}

\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}

În această construcție, permutarea pentru fiecare setează „tabelul de adunare” cu numărul . De exemplu, numărul 2 în merge la suma (operația de grup ) 2 (acest număr în sine) și 1 (elementul grupului pentru care se determină permutarea). Astfel, definește maparea identității . $\varphi (n)$ $n$ $n$ $\varphi (1)$ $G=\mathbb {Z} _{4)$ $\varphi (0)$ $\mathrm {id} _{G}(g)=g$

Maparea este un homomorfism . De exemplu, . Din proprietățile homomorfismului rezultă, în special, că setul de permutări rezultate formează un grup. $\varphi$ $\varphi (1)^{2}=\varphi (2)=\varphi (1+1)$

Literatură

Jacobson, Nathan (2009), Algebră de bază (ed. a doua), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Aleksandrov PS Introducere în teoria grupurilor. Biblioteca cuantică. Problema. 7. M.: Nauka, 1980.