Teorema lui Midi

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Midi - o teoremă în matematică, numită după matematicianul francez Midi (ME Midy), afirmă că dacă în notația zecimală a unei fracții (unde este un număr prim ), lungimea înregistrării perioadei fracției este format din cifre, adică: $a/p$ $p$ $2n$

{\frac {a}{p}}=0.\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{{n+1}}\dots a_{{2n}} },

apoi

a_{i}+a_{i+n}=9

a_{1}\dots a_{n}+a_{{n+1}}\dots a_{{2n}}=10^{n}-1.

Cu alte cuvinte, suma cifrei din notația zecimală pentru prima jumătate a perioadei și cifra corespunzătoare din a doua jumătate este 9.

De exemplu,

{\frac 1{17}}=0,\overline {0588235294117647},

și

05882352+94117647=99999999.

Teorema Midi extinsă

Fie numărul de cifre din perioada zecimală a fracției (unde este un număr prim ). Dacă este orice divizor al lui , atunci teorema lui Midi poate fi generalizată. Teorema Midi extinsă [1] postulează că, dacă perioada zecimală a unei fracții este împărțită la numere din cifre, atunci suma lor este divizibilă cu 10 k − 1. $h$ $a/p$ $p$ $k$ $h$ $a/p$ $k$

De exemplu,

{\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}

are o perioadă de 18 cifre. Împărțind-o la numere din șase cifre, obținem:

052631+578947+368421=999999.

În mod similar, împărțirea la numere din trei cifre:

052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.

Teorema lui Midi în sisteme cu o bază diferită

Teorema lui Midi nu depinde de baza sistemului numeric . Pentru un sistem numeric altul decât zecimal , trebuie să înlocuiți 10 cu baza sistemului - k și 9 cu k-1 . Deci, de exemplu, în sistemul de numere octale :

{\frac {1}{19}}=0.\overline {032745}_{8}

{\displaystyle 032_{8}+745_{8}=777_{8))

03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.

Link -uri

Weisstein, Teorema lui Eric W. Midy (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

↑ Bassam Abdul-Baki, Teorema lui Midy extinsă , 2005.