Teorema lui Reuschle

Teorema lui Reuschle descrie proprietățile cevianelor unui triunghi care se intersectează într-un punct. Teorema poartă numele matematicianului german Carl Gustav Reuschle (1812-1875). Cunoscută și ca teorema lui Terkem , după matematicianul francez Olry Terkem (1782–1862), care a publicat-o în 1842.

Enunțul teoremei

Într-un triunghi cu trei cevii care se intersectează într-un punct comun diferit de vârfurile , , , denotă , și intersecțiile laturilor extinse ale triunghiului și cevianele. Cercul care trece prin trei puncte și intersectează prelungirile laturilor triunghiului în punctele , și . Teorema lui Reuschle afirmă că aceste trei noi ceviani se intersectează și în același punct. $ABC$ $A$ $B$ $C$ $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P'_{a}$ $P'_{b)$ $P'_{c}$ $AP'_{a}$ $BP'_{b)$ $CP'_{c}$

Caz special. Un exemplu de teorema lui Reuschle

Pentru un cerc de nouă puncte , care, printre altele, este numit și „cercul lui Terkem”, Terkem a demonstrat teorema lui Terkem [1] . Ea afirmă că dacă un cerc de nouă puncte intersectează laturile unui triunghi sau prelungirile acestora în 3 perechi de puncte (în 3 baze respectiv de înălțimi și mediane) care sunt bazele a 3 perechi de cevian, atunci dacă 3 cevian pentru 3 din aceste baze se intersectează în 1 punct (de exemplu 3 mediane se intersectează la 1 punct), apoi cele 3 ceviane pentru celelalte 3 baze se intersectează și ele în 1 punct (adică și cele 3 înălțimi trebuie să se intersecteze în 1 punct).

Note

↑ Dmitri Efremov . New Triangle Geometry Arhivat 25 februarie 2020 la Wayback Machine . Odesa, 1902. S. 16.

Literatură

Mathematische Unterhaltungen / Friedrich Riecke. - Stuttgart, 1867 (retipărire Wiesbaden 1973). - T. I. - P. 125. - ISBN 3-500-26010-1 . (Limba germana)
MD Fox, JR Goggins. Cevian Axes and Related Curves // The Mathematical Gazette. - 2007. - T. 91 , Nr. 520 . - P. 3-4 .

Link -uri

Teorema lui Terquem la cut-the-knot.org
Weisstein, Eric W. Cyclocevian Conjugate (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .