Teorema de continuare a lui Tietze

Teorema de extensie Tietze (sau teorema Tietze-Urysohn ) oferă condiții suficiente pentru o funcție definită pe o submulțime de spațiu și care permite extinderea continuă la întreg spațiul.

Formulare

Să fie un spațiu normal și $X$

f\colon A\to \mathbb {R}

o funcție continuă cu valoare reală definită pe o submulțime închisă de . Apoi există o funcție continuă $A\subset X$

F\colon X\to \mathbb {R}

astfel încât pentru toată lumea . $F(a)=f(a)$ $a\în A$

În plus, dacă este mărginită, atunci funcția poate fi aleasă să fie și ea mărginită de aceeași constantă. $f$ $F$

Istorie

Leutzen Brouwer și Henri Lebesgue au demonstrat un caz special al teoremei, pentru spații vectoriale reale cu dimensiuni finite .
Heinrich Tietze a generalizat teorema la cazul tuturor spațiilor metrice .
Pavel Uryson a demonstrat teorema, așa cum este menționat aici, pentru spațiile topologice normale. [1] [2]

Variații și generalizări

Această teoremă este echivalentă cu lema lui Urysohn .

Dacă este un spațiu metric , atunci o funcție Lipschitz definită pe o submulțime arbitrară a lui , se extinde la o funcție Lipschitz pe întreg spațiul, cu aceeași constantă Lipschitz. $X$ $X$

Vezi și

Teorema continuării lui Kirschbrown

Link -uri

↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), lema Urysohn-Brouwer , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Urysohn, Paul (1925), Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen , Mathematische Annalen T. 94 (1): 262–295 , DOI 10.1007/BF01208659 .