Teorema Fatou

Să presupunem că avem o funcție analitică în cercul unitar . În anumite cazuri, este necesar să se stabilească condiții în care să poată fi continuat analitic la cercul unității . $f$ $\Delta =\{z:|z|<1\}$ $\partial \Delta$

Pentru aceasta, se utilizează următoarea metodă - studierea comportamentului unei funcții pe cercuri de forma . Pentru a face acest lucru, introducem o funcție auxiliară . Se poate observa că comportamentul funcției pe depinde de comportamentul familiei de funcții ca . Folosind terminologia analizei funcționale, putem formula acum teorema în sine: ${\partial \Delta }_{r}=\{z:|z|=r<1\)$ $f_{r}(e^{i\varphi})=f(re^{i\varphi})$ $f$ $\partial \Delta$ $\{f_{r}\}$ $r\la 1$

Teorema

Să fim analitici în și pentru ea norma Hardy : $f$ $\Delta$

$\lVert f\rVert _{H^{p}}=\sup _{0<r<1}\lVert f_{r}\rVert _{L^{p}(\partial \Delta )}< \infty$

Apoi va exista o convergență punctuală aproape peste tot a familiei de funcții către o anumită funcție . $\{f_{r}\}$ $f_{1}\in L^{p}(\partial \Delta )$