Teorema de rotație a curbei plane

Teorema de rotație a curbei plane este o versiune geometrică diferențială a teoremei sumei unghiului poligonului ; un caz special al formulei Gauss-Bonnet . Una dintre dovezi se datorează lui Heinz Hopf , după care această teoremă este uneori numită. [1] [2]

Formulare

Rotirea completă (adică integrala curburii orientate ) a unei curbe regulate netede , închise simple , plate este . Mai mult, este egal dacă aria delimitată se află la stânga curbei și altfel. $\pm 2{\cdot }\pi$ $+2{\cdot }\pi$ $-2{\cdot }\pi$

Variații și generalizări

Teorema de întoarcere a curbei lui Fenchel

Note

Integrala curburii orientate a unei curbe regulate plane închise netede este întotdeauna un multiplu de . După teoremă, orice astfel de curbă cu o integrală de curbură orientată diferită de trebuie să aibă auto-intersecții. $2{\cdot}\pi$ $\pm 2{\cdot }\pi$

Note

↑ Heinz Hopf: Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven. Matematică compusă. (1935), Band 2, p. 50–62.
↑ Hopf H. Geometrie diferențială în mare. — Note de curs de matematică. Vol. 1000. Berlin: Springer, 1983.

Literatură

Toponogov, V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .