Teorema de întoarcere a curbei lui Fenchel

Teorema lui Fenchel afirmă că variația de rotație a oricărei curbe închise nu este mai mică și egalitatea se realizează numai în cazul unei curbe plane convexe. În special, curbura medie a unei curbe de lungime închisă nu poate fi mai mică de . $2{\cdot}\pi$ $\ell$ $2{\cdot }\pi /\ell$

Teorema a fost demonstrată de Werner Fenchel . [unu]

Despre dovada

De obicei, dovada se bazează pe afirmația că curba sferică a lungimii este mai mică decât se află în emisfera deschisă. Această afirmație poate fi dovedită, de exemplu, prin aplicarea formulei lui Crofton , dar sunt cunoscute și dovezi mai elementare. $2{\cdot}\pi$

Rămâne de observat că curba formată de vectorii tangenți unitari (indicatria tangentă) la curba inițială nu se poate afla într-o emisferă deschisă. Aceasta înseamnă că lungimea sa nu este mai mică decât , dar lungimea acestei curbe coincide cu integrala curburii. $2{\cdot}\pi$

Variații și generalizări

Lema acordurilor lui Reshetnyak Dacă o linie netedă regulată se apropie de coarda sa la unghiuri și , atunci rotația curbei este de cel puțin . $\gamma \colon [a,b]\la \mathbb {R} ^{n}$ $[\gamma (a),\gamma (b)]$ $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $\alpha +\beta$
- Această afirmație decurge cu ușurință din teorema lui Fenchel, dar adesea este mai convenabil să o folosești. De exemplu, teorema Fenchel în sine urmează dacă aplicăm lema la partiția unei curbe închise în două arce.

Teorema Fari-Milnor

Teorema de rotație a curbei plane

Note

↑ W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (link indisponibil) , Mathematische Annalen 101: 238-252.

Literatură

Toponogov, V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .