Teoreme Phragmen–Lindelöf privind creșterea funcțiilor regulate

Teoremele Phragmen-Lindelöf privind creșterea funcțiilor regulate sunt afirmații conform cărora o funcție a unei variabile complexe , regulată într-o regiune infinită și continuă în , și, de asemenea, mărginită la granița regiunii , sau mărginită peste tot în interior sau în interior crește suficient de repede - cu cât „mai rapid” cu atât este mai puțină zonă . $F(z)$ $D$ $\overline {D}$ $\partial D$ $D$ $\overline {D}$ $D$ $D$

Teorema semiplanului superior Phragmen-Lindelöf

Fie funcția regulată în semiplan și continuă în semiplan , și , . Atunci fie pentru toate , fie funcția are ordine în semiplan nu mai puțin decât unitatea. $F(z)$ $Rez>0$ $Rez\geqslant 0$ $\mid F(iy)\mid <C_{0}$ $-\infty <y<\infty$ $\mid F(z)\mid <C_{0}$ $z$ $Rez\geqslant 0$ $F(z)$ $Rez\geqslant 0$ $\rho$

Explicații

Un număr se numește ordinea întregii funcții dacă . Cu alte cuvinte, o întreagă funcție are ordine , dacă pentru oricare există o constantă și o succesiune de numere crescătoare la pozitive , astfel încât $\rho$ $F(z)$ $\rho =\varlimsup _{t\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r))$ $\rho$ $\epsilon > 0$ ${\displaystyle C_{\epsilon ))$ $\infty$ $r_{k)$

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(re^{i\varphi})\mid \leqslant C_{\epsilon}exp(r^{\rho +\epsilon} )

$r>0$ ,

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(r_{k}e^{i\varphi})\mid \geqslant C_{\epsilon}exp(r_{k}^ {\rho +\epsilon })

$k=1,2,$ .

Dovada

Dovada este în cartea [1] .

Note

↑ Metode de interpolare a funcțiilor și unele dintre aplicațiile lor, 1971 , p. 37.

Literatură

Ibragimov II Metode de interpolare a funcțiilor și unele dintre aplicațiile acestora. — M .: Nauka, 1971. — 518 p.