Identitatea înaltelor și coborâșurilor

Identitatea maximelor și minimelor este o relație matematică între elementul maxim al unei mulțimi finite de numere și elementele minime ale tuturor submulților sale nevide .

Formulare

Fie numere reale arbitrare . Apoi identitatea spune: $x_{1},\ldots,x_{n)$

\max(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i}x_{i}-\sum _{i<j}\min(x_{i},x_{j })+\sum _{i<j<k}\min(x_{i},x_{j},x_{k})+\ldots +(-1)^{n-1}\,\min( x_{1},\ldots ,x_{n})

O relație similară este valabilă dacă minimele și maximele sunt interschimbate:

\min(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i}x_{i}-\sum _{i<j}\max(x_{i},x_{j })+\sum _{i<j<k}\max(x_{i},x_{j},x_{k})+\ldots +(-1)^{n-1}\,\max( x_{1},\ldots ,x_{n})

Dovada

Să demonstrăm, de exemplu, prima dintre relațiile de mai sus.

Rețineți că dacă înlocuim , unde este un număr arbitrar, atunci ambele părți ale relației care se dovedește se schimbă și în . $x\mapsto x+a$ $A$ $A$

Într-adevăr, partea stângă:

\max(x_{1}+a,\ldots,x_{n}+a)=\max(x_{1},\ldots,x_{n})+a

Partea dreapta:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}(-1)^{k-1}\, &\min(x_{i_{1}}+a,\ldots ,x_{i_{k}}+a)=\\&=\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{ 1}<\ldots <i_{k}}(-1)^{k-1}\,\min(x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{k}})+a\sum _ {k=1}^{n}(-1)^{k-1}\!\!\!\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}\!\!\!1\ sfârşit{aliniat}}$

Al doilea termen este exact egal cu , datorită proprietății binecunoscute a coeficienților binomi : $A$

\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\!\!\!\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}\! \!\!1=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{n \alege k}=1

Acum să înlocuim totul cu , unde . În virtutea considerațiilor de mai sus, relația pentru mulțime va fi satisfăcută dacă și numai dacă relația pentru mulțime este satisfăcută . Dar, în același timp , toate și unul sau mai multe numere din mulțime sunt egale . $x_{i}$ $x'_{i}=x_{i}+a$ $a=-\min(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x'_{i)$ $x_{i}$ $x'_{i}\geq 0$ $x'_{i)$ $0$

Dacă toate , atunci relația este valabilă. $x'_{i}=0$

Luați în considerare cazul când nu toate . Să, pentru certitudine , și . Apoi, după cum este ușor de văzut, toate zerourile pot fi excluse din egalitate, care devine astfel $x'_{i}=0$ $x'_{1},\ldots ,x'_{m}>0$ $x'_{m+1}=\ldots =x'_{n}=0$ $x'_{i)$

\max(x'_{1},\ldots,x'_{m})=\sum _{i}x'_{i}-\sum _{i<j}\min(x' _{i},x'_{j})+\sum _{i<j<k}\min(x'_{i},x'_{j},x'_{k})+\ldots +(-1)^{m-1}\,\min(x'_{1},\ldots ,x'_{m})

Astfel, am redus raportul pentru numere la un raport similar pentru un număr mai mic de numere. De aici, în virtutea principiului inducției matematice , rezultă că relația inițială este adevărată pentru orice natură . $n$ $m<n$ $n$

Vezi și

Formula de includere-excludere