Limite superioare și inferioare precise

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificările necesită 9 modificări .

Limita superioară exactă (limita superioară) și limita inferioară exactă (limita inferioară) sunt generalizări ale conceptelor de maxim și, respectiv, minim ale unei mulțimi.

Limitele superioare și inferioare exacte ale unei mulțimi sunt de obicei notate (se citește supremum x ) și respectiv (se citește infimum x ). $X$ $\sup X$ $\inf X$

Definiții folosite

Majoranta sau limita superioară (limita) a unei mulțimi numerice este un numărastfel încât. $X$ $A$ $\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$

Minorantul sau limita inferioară (limita) a unei mulțimi numerice este un număr astfel încât . $X$ $b$ $\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$

În mod similar, concepte similare sunt introduse pentru o submulțime a unei mulțimi parțial ordonate non-numerice . Aceste concepte vor fi folosite mai jos.

Definiții

Limita superioară exactă (cea mai mică limită superioară) sau supremum ( latina supremum - cea mai înaltă), a unei submulțimi a unei mulțimi parțial ordonate (sau a clasei ) este cel mai mic element care este egal sau mai mare decât toate elementele mulțimii . Cu alte cuvinte, supremul este cea mai mică dintre toate fețele superioare. Desemnat . $X$ $M$ $M$ $X$ $\sup X$

Mai formal:

S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}

- ansamblu de fețe superioare , adică elemente egale sau mai mari decât toate elementele ;

X

M

X

s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.

Limita inferioară exactă (cea mai mare limită inferioară) sau infimum ( lat. infimum - cea mai mică), submulțimea unei mulțimi parțial ordonate (sau clasă ) este cel mai mare element , care este egal sau mai mic decât toate elementele mulțimii . Cu alte cuvinte, infimumul este cea mai mare dintre toate limitele inferioare. Desemnat . $X$ $M$ $M$ $X$ $\inf X$

Note

Aceste definiții nu spun nimic despre dacă și aparține setului sau nu: $\sup X$ $\inf X$ $X$

in cazul spune ca este maximul , adica ;

s=\sup X\în X

s

X

s=\max X

în caz că se spune că este minim de , adică .

i=\inf X\in X

i

X

i=\min X

Definițiile de mai sus sunt nepredicative (referindu-se la ele însele), deoarece conceptul definit în fiecare dintre ele este un element al mulțimii prin care este definit. Susținătorii constructivismului în matematică se opun utilizării unor astfel de definiții, prevenind sau eliminând elemente ale „ cercului vicios ” din cadrul teoriilor lor prin diferite metode.
La estimarea constantelor necunoscute, se folosesc termenii „limită superioară” și „limită inferioară”, în timp ce limita superioară este limita inferioară a unei mulțimi cunoscute, iar limita inferioară este limita superioară . Din engleză, termenul „limită superioară” poate fi tradus atât ca „limită superioară”, cât și ca „limită superioară”, ceea ce duce uneori la confuzie. Situația este similară cu expresia „low bound”.

Exemple

Nu există un minim în setul tuturor numerelor raționale mai mari de cinci, dar există un infim. un astfel de set este egal cu cinci. Infimumul nu este un minim, deoarece cinci nu aparțin acestui set. Dacă, totuși, definim mulțimea tuturor numerelor naturale mai mari de cinci, atunci o astfel de mulțime are un minim și este egală cu șase. În general, orice submulțime nevidă a mulțimii numerelor naturale are un minim. $\inf$
Pentru un set ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2 )),\;{\frac {1}{3)),\;\ldots \dreapta\))$

\sup S=1

; .

\inf S=0

Mulțimea numerelor raționale pozitive nu are o limită superioară minimă în , ci un infimum exact . $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ $\mathbb {Q}$ $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$
Mulțimea numerelor raționale al căror pătrat este mai mic de doi nu are limite superioare și inferioare exacte în , dar dacă este considerată ca o submulțime a mulțimii numerelor reale , atunci $X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\)$ $\mathbb {Q}$

\sup X={\sqrt {2}}

și .

\inf X=-{\sqrt {2}}

Teorema marginii

Formulare

O submulțime nevidă a numerelor reale , mărginite mai sus, are o limită superioară minimă; analogul , mărginit de jos, este infimumul. Adică, există astfel încât: $A$ $B$ ${\bar {a}}$ ${\subliniat {b)}$

{\bar {a)}=\sup A:{\begin {cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a}),\\\forall {\bar {a} }'<{\bar {a}}\,\,\există a\în A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)

{\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b)),\\\forall {\underline {b} }'>{\underline {b}}\,\,\există b\în B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)

Dovada

Pentru o mulțime nevidă mărginită de sus. Pentru o mulțime mărginită de jos, argumentele sunt efectuate într-un mod similar. $X$

Să reprezentăm toate numerele sub formă de fracții zecimale infinite : , unde este o cifră. $x\în X$ $x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots ))$ $x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i)$

Mulțimea este nevide și mărginită de sus prin definiție . Deoarece și este mărginit de sus, există un număr finit de elemente mai mare decât unele (altfel, principiul inducției ar implica nelimitarea de sus). Să alegem dintre acestea . $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $X$ $X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}$ $X_{0}$ ${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$ $X_{0}$ $a_{0}=\max X_{0)$

Mulțimea nu este goală și constă din nu mai mult de zece elemente, deci există . $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\în X\}$ $a_{1}=\max X_{1}$

Să presupunem că pentru un număr se construiește un număr zecimal astfel încât , și (reprezentarea zecimală a oricărui element al setării inițiale până la a --a zecimală nu depășește , și există cel puțin 1 element a cărui notație zecimală începe cu ). $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ $\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots ))$ ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1} \ldots x_{m))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ $a_{0},a_{1}\dots a_{m)$

Se notează (mulțimea elementelor care încep cu notație zecimală cu ). Prin definiția numărului , setul nu este gol. Este finit, deci există un număr care are aceleași proprietăți ca și . $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1))}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+ 1 }\ldots }}\în X\}$ $X$ $a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1)$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $X_{m+1}$ ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ $a.m$

Astfel, conform principiului inducției , pentru oricare se dovedește a fi o anumită cifră și, prin urmare, o fracție zecimală infinită este determinată în mod unic $n$ $un$

a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}

Să luăm un număr arbitrar . Conform construcției numărului , pentru orice număr deține și deci . Deoarece raționamentul este satisfăcut , atunci , iar a doua linie a definiției se dovedește a fi satisfăcută din construcția lui . $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$ $A$ $n$ ${\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n))}$ $x\leqslant a$ $\forall x\in X$ $a=\sup X$ $A$

Să alegem . Este ușor de observat că cel puțin o cifră din notația zecimală este mai mică decât cea corespunzătoare din notație . Luați în considerare rezultatul obținut de primul număr al unei astfel de cifre. Deoarece nu este gol, . $a'<a$ $A'$ $A$ $X_{i}$ $\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$

Dovada folosind principiul completității

Pentru o mulțime nevidă mărginită de sus, luați în considerare — un set nevid de limite superioare . Prin definiție, (mulțimea se află la stânga lui ). Conform continuitatii , . Prin definiție , în orice caz (altfel - nu setul de limite superioare, ci doar o parte din submulțimea acestuia). Deoarece este cel mai mic element , atunci . $X$ ${\overline {X}}$ $X$ ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ $X$ ${\overline {X}}$ $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c$ ${\overline {X}}$ $c=\sup X$

Să verificăm a doua linie a definiției. Să alegem . Fie , atunci , ceea ce înseamnă că , dar , și este cel mai mic element al . O contradicție, adică . În general, raționamentul este corect . $c'<c$ $\nu \există x\in X:x>c'$ $\forall x\in X:x\leqslant c'$ $c'\in {\overline {X}}$ $c'<c$ $c$ ${\overline {X}}$ $\exists x\in X:x>c'$ $\forall c'$

Pentru o mulțime mărginită de jos, argumentele sunt similare.

Proprietăți

După teorema muchiei, pentru orice submulțime mărginită mai sus , există . $\mathbb {R}$ $\sus$
După teorema muchiei, pentru orice submulțime mărginită mai jos , există . $\mathbb {R}$ $\inf$
Un număr real este dacă și numai dacă: $s$ $\sup X$

s

există o limită superioară , adică pentru toate elementele , ;

X

x\în X

x\leqslant s

pentru orice există , astfel încât (adică vă puteți „apropi” de arbitrar din mulțime , iar pentru , este evident că ).

\varepsilon >0

x\în X

x+\varepsilon >s

s

X

s\în X

s+\varepsilon >s

O afirmație similară cu ultima este valabilă și pentru limita inferioară.

Variații și generalizări

Supremum semnificativ

Literatură

Bogdanov Yu. S., Kastritsa OA, Syroid Yu. B. Analiză matematică: Manual pentru universități. — M.: UNITI-DANA, 2003.- S. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Bogdanov Yu. S. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. - Mn .: Editura BSU, 1974. - S. 3-8.
W. Rudin. Fundamentele analizei matematice. — M .: Mir, 1976. — 320 p.