Continuitatea multimii numerelor reale

Continuitatea numerelor reale este o proprietate a sistemului de numere reale , pe care multimea numerelor rationale nu o are . Uneori, în loc de continuitate, se vorbește de completitudinea sistemului de numere reale [1] . Există mai multe formulări diferite ale proprietății de continuitate, dintre care cele mai faimoase sunt principiul continuității lui Dedekind pentru numere reale , principiul Cauchy - Cantor al segmentelor imbricate și teorema limitei superioare . În funcție de definiția acceptată a unui număr real , proprietatea de continuitate poate fi postulată ca $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ o axiomă - într-o formulare sau alta, sau să fie demonstrată ca o teoremă [2] .

Axioma continuității

În construcția axiomatică a teoriei unui număr real , numărul de axiome include în mod necesar următoarea afirmație sau echivalentul său [3] :

Axioma de continuitate (completitudine). Oricare ar fi mulțimile nevideși, astfel încât pentru oricare două elementeșiinegalitatea este valabilă, există un număr realastfel încât pentru toțișirelația este valabilă $A\subset \mathbb {R}$ $B\subset \mathbb {R}$ $a\în A$ $b\în B$ $a\leqslant b$ $\xi$ $a\în A$ $b\în B$

a\leqslant \xi \leqslant b

Geometric (dacă tratăm numerele reale ca puncte pe o dreaptă ), dacă mulțimile și sunt astfel încât pe linia numerică toate elementele unuia dintre ele se află la stânga tuturor elementelor celui de-al doilea, atunci există un număr care separă aceste două mulțimi, adică situate la dreapta tuturor elementelor (cu excepția, eventual, cele mai multe ) și la stânga tuturor elementelor (aceeași avertizare). $A$ $B$ $\xi$ $A$ $\xi$ $B$

Mulțimea numerelor raționale nu are această proprietate. De exemplu, dacă luăm două seturi:

A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0 ,\;x^{2}>2\},

atunci inegalitatea este valabilă pentru orice elemente și . Cu toate acestea, nu există un număr rațional care să separe aceste două mulțimi. Într-adevăr, acest număr poate fi doar , dar nu este rațional . $a\în A$ $b\în B$ $a<b$ $\xi$ ${\sqrt {2}}$

Rolul axiomei continuității în construcția calculului

Semnificația axiomei continuității este de așa natură încât fără ea o construcție riguroasă a analizei matematice este imposibilă. Pentru a ilustra, prezentăm câteva afirmații fundamentale de analiză, a căror demonstrație se bazează pe continuitatea numerelor reale:

( Teorema lui Weierstrass ). Fiecare succesiune crescătoare monotonă mărginită converge
( Teorema Bolzano-Cauchy ). O funcție continuă pe un segment care ia valori de diferite semne la capetele sale dispare într-un punct interior al segmentului
(Existența puterii , exponențiale , logaritmice și a tuturor funcțiilor trigonometrice pe întregul domeniu „natural” de definiție). De exemplu, se demonstrează că pentru fiecare număr întreg există , adică o soluție a ecuației . Acest lucru vă permite să determinați valoarea expresiei pentru toate raționale : $a>0$ $n\geqslant 1$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $x^{n}=a,x>0$ $a^{x}$ $X$

$a^{{m/n}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}$

În cele din urmă, din nou, datorită continuității dreptei numerice, este posibil să se determine deja valoarea expresiei pentru un . În mod similar, folosind proprietatea de continuitate, demonstrăm existența unui număr pentru orice .

a^{x}

x\in \mathbb{R}

\log _{{a}}{b}

a,b>0,a\neq 1

Pentru o lungă perioadă istorică, matematicienii au demonstrat teoreme din analiză, în „locuri subțiri” referindu-se la justificarea geometrică, și de cele mai multe ori sărind cu totul peste ele, deoarece era evident. Conceptul esențial de continuitate a fost folosit fără nicio definiție clară. Abia în ultima treime a secolului al XIX-lea matematicianul german Karl Weierstrass a produs aritmetizarea analizei, construind prima teorie riguroasă a numerelor reale ca fracții zecimale infinite. El a propus o definiție clasică a limitei în limbaj , a dovedit o serie de afirmații care au fost considerate „evidente” înaintea lui și a completat astfel fundamentul analizei matematice. $\varepsilon-\delta$

Ulterior, au fost propuse și alte abordări ale definiției unui număr real. În abordarea axiomatică , continuitatea numerelor reale este evidențiată în mod explicit ca o axiomă separată. În abordările constructive ale teoriei numerelor reale, cum ar fi atunci când construim numere reale folosind secțiuni Dedekind , proprietatea de continuitate (într-o formulare sau alta) este demonstrată ca o teoremă.

Alte formulări ale proprietății de continuitate și propoziții echivalente

Există mai multe afirmații diferite care exprimă proprietatea de continuitate a numerelor reale. Fiecare dintre aceste principii poate fi folosit ca bază pentru construirea teoriei unui număr real ca axiomă a continuității, iar toate celelalte pot fi derivate din aceasta [4] [5] . Această problemă este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Continuitate Dedekind

Problema continuității numerelor reale o consideră Dedekind în lucrarea sa „Continuitatea și numerele iraționale ” [6] . În ea el compară numerele raționale cu punctele unei drepte . După cum știți, între numerele raționale și punctele unei drepte, puteți stabili o corespondență atunci când punctul de plecare și unitatea de măsură ale segmentelor sunt alese pe linie dreaptă. Cu ajutorul acestuia din urmă, este posibil să construiți segmentul corespunzător fiecărui număr rațional și, lăsându-l deoparte la dreapta sau la stânga, în funcție de faptul că există un număr pozitiv sau negativ, obțineți un punct corespunzător numărului. . Astfel, fiecărui număr rațional îi corespunde unul și doar un punct de pe linie. $A$ $A$ $p$ $A$ $A$ $p$

Se dovedește că există infinit de multe puncte pe linie care nu corespund niciunui număr rațional. De exemplu, un punct obținut prin trasarea lungimii diagonalei unui pătrat construit pe un segment unitar. Astfel, tărâmul numerelor raționale nu are acea completitudine sau continuitate , care este inerentă unei linii drepte.

Comparația anterioară a regiunii numerelor raționale cu linia dreaptă a condus la descoperirea în primul defect (Lückenhaftigkeit), a incompletitudinei sau a discontinuității, în timp ce dreptei îi atribuim completitudinea, absența golurilor, continuitatea.R. Dedekind, „Continuitatea și numerele iraționale”

Pentru a afla în ce constă această continuitate, Dedekind face următoarea remarcă. Dacă există un anumit punct al liniei, atunci toate punctele liniei se împart în două clase : puncte situate la stânga și punctele situate la dreapta . Punctul în sine poate fi atribuit în mod arbitrar fie clasei inferioare, fie clasei superioare. Dedekind vede esența continuității în principiul invers: $p$ $p$ $p$ $p$

Dacă punctele unei linii sunt împărțite în două clase, astfel încât fiecare punct din prima clasă se află la stânga fiecărui punct din a doua clasă, atunci există unul și un singur punct care produce această împărțire a dreptei în două clase, aceasta este disecția liniei în două bucăți.R. Dedekind, „Continuitatea și numerele iraționale”

Din punct de vedere geometric, acest principiu pare evident, dar nu suntem în măsură să-l dovedim. Dedekind subliniază că, în esență, acest principiu este un postulat , care exprimă esența acelei proprietăți atribuite liniei directe, pe care o numim continuitate.

Acceptarea acestei proprietăți a unei linii drepte nu este altceva decât o axiomă, prin intermediul căreia doar noi recunoaștem continuitatea acesteia ca linie dreaptă, investind mental continuitatea într-o linie dreaptă.R. Dedekind, „Continuitatea și numerele iraționale”

Pentru a înțelege mai bine esența continuității dreptei numerice în sensul lui Dedekind, luați în considerare o secțiune arbitrară a mulțimii numerelor reale, adică împărțirea tuturor numerelor reale în două clase nevide, astfel încât toate numerele de o clasă se află pe linia numerică din stânga tuturor numerelor celei de-a doua. Aceste clase sunt numite clase de secțiune inferioară și , respectiv, superioară . Teoretic, există 4 posibilități:

Clasa de jos are un element maxim , clasa de sus nu are un minim
Clasa de jos nu are un element maxim, în timp ce clasa de sus are un minim
Clasa de jos are un element maxim, iar clasa de sus are un element minim.
Clasa de jos nu are maxim, iar clasa de sus nu are niciun element minim.

În primul și al doilea caz, elementul maxim al inferiorului sau, respectiv, elementul minim al superiorului, produce această secțiune. În al treilea caz, avem un salt , iar în al patrulea, un decalaj . Astfel, continuitatea dreptei numerice înseamnă că nu există salturi sau goluri în mulțimea numerelor reale, adică, la figurat vorbind, nu există goluri.

Dacă introducem conceptul de secțiune a mulțimii numerelor reale, atunci principiul continuității Dedekind poate fi formulat după cum urmează.

Principiul de continuitate al lui Dedekind (completitudine). Pentru fiecare secțiune a mulțimii numerelor reale, există un număr care produce această secțiune.

Cometariu. Formularea Axiomei Continuității despre existența unui punct care separă două mulțimi amintește foarte mult de formularea principiului continuității lui Dedekind. De fapt, aceste afirmații sunt echivalente și, în esență, sunt formulări diferite ale aceluiași lucru. Prin urmare, ambele afirmații sunt numite principiul continuității numerelor reale al lui Dedekind .

Lema pe segmente imbricate (principiul Cauchy-Cantor)

Lema pe segmente imbricate ( Cauchy - Kantor ). Orice sistem de segmente imbricate

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

are o intersecție nevidă, adică există cel puțin un număr care aparține tuturor segmentelor sistemului dat.

Dacă, în plus, lungimea segmentelor sistemului dat tinde spre zero, adică

\forall \varepsilon >0\;\exists n_{{\varepsilon }}\;\forall n{\bigl (}n>n_({\varepsilon }}\Rightarrow b_{n}-a_{n}<\varepsilon) {\bigr )}

atunci intersecția segmentelor acestui sistem este formată dintr-un punct.

Această proprietate se numește continuitatea mulțimii numerelor reale în sensul lui Cantor . Se va arăta mai jos că pentru câmpurile ordonate arhimediene continuitatea după Cantor este echivalentă cu continuitatea după Dedekind.

Principiul supremum

Principiul supremației. Fiecareset nevid de numere reale mărginite de sus are un supremum .

În cursurile de calcul , această propoziție este de obicei o teoremă , iar demonstrația ei folosește în mod semnificativ continuitatea mulțimii de numere reale într-o formă sau alta. În același timp, dimpotrivă, este posibil să se postuleze existența unui supremum pentru orice mulțime nevidă mărginită de sus, și bazându-se pe aceasta pentru a demonstra, de exemplu, principiul continuității Dedekind. Astfel, teorema supremului este una dintre formulările echivalente ale proprietății de continuitate a numerelor reale.

Cometariu. În loc de supremum, se poate folosi conceptul dual al infimului.

Principiul infim. Fiecareset nevid de numere reale mărginite mai jos are un infimum .

Această propoziție este, de asemenea, echivalentă cu principiul continuității lui Dedekind. Mai mult, se poate arăta că enunțul teoremei infime decurge direct din afirmarea teoremei supremului, și invers (vezi mai jos).

Lema de acoperire finită (principiul Heine-Borel)

Finite Cover Leemma ( Heine - Borel ). În orice sistem de intervale care acoperă un segment, există un subsistem finit care acoperă acest segment.

Lema punct limită (principiul Bolzano-Weierstrass)

Lema punct limită ( Bolzano - Weierstrass ). Fiecare set infinit de numere mărginite are cel puțin un punct limită.

Echivalența propozițiilor care exprimă continuitatea mulțimii numerelor reale

Să facem câteva observații preliminare. Conform definiției axiomatice a unui număr real , colecția de numere reale satisface trei grupuri de axiome. Primul grup este axiomele de câmp . Al doilea grup exprimă faptul că mulțimea numerelor reale este o mulțime ordonată liniar , iar relația de ordine este consecventă cu operațiile de bază ale câmpului. Astfel, primul și al doilea grup de axiome înseamnă că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat . Al treilea grup de axiome constă dintr-o axiomă - axioma continuității (sau completității).

Pentru a arăta echivalența diferitelor formulări ale continuității numerelor reale, trebuie demonstrat că dacă una dintre aceste propoziții este valabilă pentru un câmp ordonat, atunci toate celelalte sunt adevărate.

Teorema. Fie o mulțime arbitrară ordonată liniar . Următoarele afirmații sunt echivalente: ${\mathsf {R}}$

Oricare ar fi mulțimile nevide și sunt astfel încât pentru oricare două elemente și , există un element astfel încât pentru toate și , relația este valabilă $A\subset {\mathsf {R}}$ $B\subset {\mathsf {R}}$ $a\în A$ $b\în B$ $a\leqslant b$ $\xi \in {\mathsf {R}}$ $a\în A$ $b\în B$ $a\leqslant \xi \leqslant b$
Pentru orice secțiune din există un element care produce această secțiune ${\mathsf {R}}$
Fiecare mulțime nevidă mărginită mai sus are un supremum $A\subset {\mathsf {R}}$
Fiecare mulțime nevidă mărginită mai jos are un infim $A\subset {\mathsf {R}}$

După cum se poate observa din această teoremă, aceste patru propoziții folosesc doar ceea ce a introdus relația de ordine liniară și nu folosesc structura câmpului. Astfel, fiecare dintre ele exprimă o proprietate ca o mulțime ordonată liniar. Această proprietate (a unei mulțimi ordonate liniar arbitrar, nu neapărat o mulțime de numere reale) se numește continuitate sau completitudine, conform lui Dedekind . ${\mathsf {R}}$ ${\mathsf {R}}$

Demonstrarea echivalenței altor propoziții necesită deja o structură de câmp.

Teorema. Fie un câmp ordonat arbitrar. Următoarele propoziții sunt echivalente: ${\mathsf {R}}$

${\mathsf {R}}$ (ca o mulțime ordonată liniar) este Dedekind complet
Pentru principiul Arhimede ${\mathsf {R}}$ și principiul segmentelor imbricate sunt îndeplinite
Căci principiul Heine-Borel este îndeplinit ${\mathsf {R}}$
Pentru că principiul Bolzano-Weierstrass este îndeplinit ${\mathsf {R}}$

Cometariu. După cum se poate observa din teoremă, principiul segmentelor imbricate în sine nu este echivalent cu principiul continuității Dedekind. Principiul continuității lui Dedekind implică principiul segmentelor imbricate, cu toate acestea, invers necesită suplimentar ca câmpul ordonat să satisfacă axioma lui Arhimede . ${\mathsf {R}}$

Dovada teoremelor de mai sus poate fi găsită în cărțile din bibliografia prezentată mai jos.

Note

↑ Zorich, V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. 4, corectat .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 43.
↑ De exemplu, în definiția axiomatică a unui număr real, principiul continuității Dedekind este inclus în numărul de axiome, iar în definiția constructivă a unui număr real folosind secțiuni Dedekind, aceeași afirmație este deja o teoremă - vezi, de exemplu , Fikhtengolts, G. M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M . : „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .
↑ Kudryavtsev, L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - S. 38.
↑ Kudryavtsev, L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - S. 84.
↑ Zorich, V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. 4, corectat .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ Dedekind, R. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen. — ediția a 4-a revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Literatură

Kudryavtsev, L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Fikhtengol'ts, G. M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M . : „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .
Dedekind, R. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen. — ediția a 4-a revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.
Zorich, V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. 4, corectat .. - M . : "MTsNMO", 2002. - 657 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
Continuitatea funcţiilor şi a domeniilor numerice: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - Ed. a 3-a. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.