Un unghi triedric este o parte a spațiului delimitată de trei unghiuri plate cu un vârf comun și laturi comune perechi care nu se află în același plan. Vârful comun O al acestor unghiuri se numește vârful unghiului triedric. Laturile colțurilor se numesc muchii, colțurile plate de la vârful unui unghi triedric se numesc fețele sale. Fiecare dintre cele trei perechi de fețe ale unui unghi triedric formează un unghi diedru (delimitat de o a treia față care nu este inclusă în pereche; dacă este necesar, această restricție este înlăturată în mod natural, rezultând semiplanurile necesare care formează întregul diedru). unghi fără restricție). Dacă plasăm vârful unui unghi triedric în centrul unei sfere, pe suprafața sa se formează un triunghi sferic delimitat de acesta , ale cărui laturi sunt egale cu unghiurile plane ale unghiului triedric, iar unghiurile sunt egale cu acesta. unghiuri diedrice.
Fiecare unghi plat al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plate ale sale. [unu]
Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric este mai mică de 360 de grade.
DovadaFie OABC un unghi triedric dat (vezi Fig. 1). Se consideră un unghi triedric cu vârful A format din fețele ABO, ACO și unghiul BAC. Să scriem inegalitatea:
În mod similar, pentru unghiurile triedrice rămase cu vârfurile B și C:
Adunând aceste inegalități și ținând cont de faptul că suma unghiurilor triunghiului ABC este 180°, obținem
Prin urmare :
Să fie dat un unghi triedric (vezi Fig. 2), α, β, γ - unghiurile sale plate, A, B, C - unghiuri diedrice compuse din planuri ale unghiurilor β și γ, α și γ, α și β.
Prima teoremă a cosinusului pentru un unghi triedric:
A doua teoremă a cosinusului pentru un unghi triedric:
DovadaFie OABC un unghi triedric dat. Să aruncăm perpendicularele din punctul interior al unghiului triedric către fețele sale și să obținem un nou unghi triedric polar (dual cu cel dat). Unghiurile plate ale unui unghi triedric completează unghiurile diedrice ale altuia, iar unghiurile diedrice ale unui unghi le completează pe cele plate ale altuia până la 180 de grade. Adică unghiurile plane ale unghiului polar sunt, respectiv, egale: 180 - A; 180 - B; 180 - C și diedrul - 180 - a; 180-p; 180-γ
Să scriem prima teoremă a cosinusului pentru ea
iar după simplificări obținem:
, unde α, β, γ sunt unghiurile plane ale unghiului triedric; A, B, C - unghiuri diedrice opuse (vezi Fig. 2).