Unghi triedric

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 octombrie 2020; verificările necesită 9 modificări .

Un unghi triedric este o parte a spațiului delimitată de trei unghiuri plate cu un vârf comun și laturi comune perechi care nu se află în același plan. Vârful comun O al acestor unghiuri se numește vârful unghiului triedric. Laturile colțurilor se numesc muchii, colțurile plate de la vârful unui unghi triedric se numesc fețele sale. Fiecare dintre cele trei perechi de fețe ale unui unghi triedric formează un unghi diedru (delimitat de o a treia față care nu este inclusă în pereche; dacă este necesar, această restricție este înlăturată în mod natural, rezultând semiplanurile necesare care formează întregul diedru). unghi fără restricție). Dacă plasăm vârful unui unghi triedric în centrul unei sfere, pe suprafața sa se formează un triunghi sferic delimitat de acesta , ale cărui laturi sunt egale cu unghiurile plane ale unghiului triedric, iar unghiurile sunt egale cu acesta. unghiuri diedrice.

Inegalitatea triunghiului pentru un unghi triedric

Fiecare unghi plat al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plate ale sale. [unu]

Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric

Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric este mai mică de 360 de grade.

Dovada

Fie OABC un unghi triedric dat (vezi Fig. 1). Se consideră un unghi triedric cu vârful A format din fețele ABO, ACO și unghiul BAC. Să scriem inegalitatea:

\angle BAC<\angle BAO+\angle CAO

În mod similar, pentru unghiurile triedrice rămase cu vârfurile B și C:

\angle ABC<\angle ABO+\angle CBO

\angle ACB<\angle ACO+\angle BCO

Adunând aceste inegalități și ținând cont de faptul că suma unghiurilor triunghiului ABC este 180°, obținem

180<\angle BAO+\angle CAO+\angle ABO+\angle CBO+\angle BCO+\angle ACO=180-\angle AOB+180-\angle BOC+180-\angle AOC

Prin urmare : $\angle AOB+\angle BOC+\angle AOC<360$

Teorema cosinusului pentru un unghi triedric

Să fie dat un unghi triedric (vezi Fig. 2), α, β, γ - unghiurile sale plate, A, B, C - unghiuri diedrice compuse din planuri ale unghiurilor β și γ, α și γ, α și β.

Prima teoremă a cosinusului pentru un unghi triedric:

\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}

A doua teoremă a cosinusului pentru un unghi triedric:

\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha }

Dovada

Fie OABC un unghi triedric dat. Să aruncăm perpendicularele din punctul interior al unghiului triedric către fețele sale și să obținem un nou unghi triedric polar (dual cu cel dat). Unghiurile plate ale unui unghi triedric completează unghiurile diedrice ale altuia, iar unghiurile diedrice ale unui unghi le completează pe cele plate ale altuia până la 180 de grade. Adică unghiurile plane ale unghiului polar sunt, respectiv, egale: 180 - A; 180 - B; 180 - C și diedrul - 180 - a; 180-p; 180-γ

Să scriem prima teoremă a cosinusului pentru ea

\cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+

+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}

iar după simplificări obținem:

\cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}

Teorema sinusului pentru un unghi triedric

${\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$ , unde α, β, γ sunt unghiurile plane ale unghiului triedric; A, B, C - unghiuri diedrice opuse (vezi Fig. 2).

Vezi și

Unghi solid

Note

↑ Geometrie conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , §324 .