Functori completi și univalenți

În teoria categoriilor, un functor univalent (resp. functor complet ) este un functor care este injectiv (resp. surjectiv ) pe fiecare set de morfisme cu o imagine fixă și preimagine.

Mai explicit, să avem categoriile locale mici C și D și să fie F : C → D un functor de la C la D . Acest functor induce o funcție

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

pentru fiecare pereche de obiecte X și Y din C . Functorul F este numit

univalent (sau strict ) dacă funcția F X , Y este injectivă
completă dacă F X , Y este surjectiv
complet univalent (sau complet și univalent) dacă F X , Y este bijectiv

pentru fiecare X și Y din C .

Proprietăți

Un functor univalent nu este neapărat injectiv pe obiecte din categoria C , deci imaginea unui functor complet univalent nu trebuie să fie o categorie izomorfă cu C. La fel, un functor complet nu este neapărat surjectiv asupra obiectelor. Totuși, un functor complet univalent este injectiv pe obiecte până la izomorfism, adică dacă F : C → D este complet univalent și , atunci (în acest caz se spune că functorul F reflectă izomorfisme). $F(x)\cong F(y)$ $x \cong y$
Orice functor univalent reflectă monomorfisme și epimorfisme . De aici rezultă că orice functor univalent dintr-o categorie echilibrată reflectă izomorfisme.

Exemple

Functorul uituc U : Grp → Mulțimea este univalent, deoarece un homomorfism de grup este determinat în mod unic de o funcție pe mulțimile suportate. O categorie cu un functor strict într-o mulțime se numește categorie concretă .
Functorul care înglobează Ab în Grp este complet univalent.

Vezi și

Literatură

McLane S. Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Bucur I., Deleanu A. Introducere în teoria categoriilor și functorilor. — M .: Mir, 1972.