Monomorfism

Un monomorfism este un morfism al categoriei astfel încât orice egalitate implică faptul că (cu alte cuvinte, on poate fi anulat din stânga). Adesea un monomorfism de la la este notat cu . $m:A\la B$ ${\mathcal C}$ $m\circ f=m\circ h$ $f=h$ $m$ $X$ $Y$ $X\hook săgeata dreapta Y$

Dual cu conceptul de monomorfism este conceptul de epimorfism . (În același timp, pentru ca un morfism să fie un izomorfism , în cazul general, nu este suficient să fie bimorf - monomorf și epimorf simultan.)

Monomorfismele sunt o generalizare categorică a noțiunii de funcție injectivă . Uneori aceste definiții coincid, dar în general un monomorfism nu corespunde unei funcții injective.

Relația cu reversibilitatea

Morfismele care au inversul stâng sunt întotdeauna monomorfisme. Într-adevăr, dacă este inversul din stânga (adică ), atunci: $l$ $f$ $l\circ f=\operatorname {id}_{{X}}$

f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2)

În același timp, nu toate monomorfismele au un invers stâng. De exemplu, în categoria grupurilor , dacă este un subgrup de , atunci încorporarea este întotdeauna un monomorfism, dar un morfism invers stâng există numai dacă y are un grup complementar normal (deoarece nucleul homomorfismului este un subgrup normal). Un morfism este un monomorfism dacă și numai dacă maparea indusă definită ca pentru morfisme este injectivă pentru tot Z . ${\mathbf {Grp}}$ $H$ $G$ $f:H\to G$ $f:H\to G$ $H$ $f:X\la Y$ $f_{{*}}:{\mathrm {Hom}}(Z,X)\la {\mathrm {Hom}}(Z,Y)$ $f_{{*}}h=f\circ h$ $h:Z\la X$

Legătura cu injectivitate

Nu în fiecare categorie se poate spune că o anumită funcție pe mulțimi corespunde unui morfism, dar acest lucru este adevărat în anumite categorii . În orice astfel de categorie, un morfism „injectiv” va fi un monomorfism. În categoria mulțimilor este adevărată și afirmația inversă; monomorfismele de acolo corespund exact funcțiilor injective. Acest lucru este valabil în multe alte categorii care apar în mod natural în matematică datorită existenței unui obiect liber generat de un singur element. De exemplu, acest lucru este valabil în orice categorie abeliană .

Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna adevărat. De exemplu, în categoria grupurilor divizibile (abeliene) cu homomorfisme de grup obișnuite, există monomorfisme non-injective, cum ar fi harta de factorizare . $\mathbf {Div}$ $q:\mathbb {Q} \la \mathbb {Q} /Z$

Tipuri de monomorfisme

Se spune că un monomorfism este regulat dacă este un egalizator al unei perechi de morfisme paralele.

Un monomorfism extremal este un monomorfism care nu poate fi purtat printr-un epimorfism într-un mod non-trivial, cu alte cuvinte, dacă un monomorfism extremal este reprezentat sub formaunui epimorfism, atunci este un izomorfism. $g\circ e$ $e$ $e$

Terminologie

Perechea de termeni „monomorfism” și „epimorfism” au fost folosite pentru prima dată de Bourbaki și au folosit „monomorfism” ca prescurtare pentru expresia „funcție injectivă”. Astăzi, aproape toți matematicienii implicați în teoria categoriilor sunt siguri că regula de reducere dată mai sus este o generalizare corectă a conceptului de funcție injectivă. McLane a încercat să facă distincția între monomorfisme - morfisme dintr-o anumită categorie, care corespund unei funcții injective, și engleză. hărțile monice sunt monomorfisme în sens categoric, dar acest lucru nu a intrat niciodată în uz general.

Literatură

McLane S. Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

George Bergman (1998), O invitație la algebră generală și construcții universale , Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .