Universum Grothendieck

Universul Grothendieck în matematică este o mulțime nevidă astfel încât: ${\mathcal {U}}$

dacă și , atunci ; $x\in {\mathcal {U}}$ $y\in x$ $y\in {\mathcal {U}}$
dacă , atunci ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $\{x,y\}\in {\mathcal {U}}$
dacă , atunci ; $x\in {\mathcal {U}}$ ${\mathcal {P}}(x)\in {\mathcal {U}}$
if este o familie de elemente și , atunci . $(x_{i},i\in I)$ ${\mathcal {U}}$ $I\in {\mathcal {U}}$ $\bigcup _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$

Universurile Grothendieck sunt folosite în teoria categoriilor ca alternativă la clasele adecvate . Ideea universurilor îi aparține lui Alexander Grothendieck , care le-a descris și aplicat pentru prima dată în teoria topurilor la seminarul SGA [1] .

Proprietăți

Următoarele proprietăți ale universurilor Grothendieck decurg imediat din definiție:

daca , atunci multimea unui element apartine si lui ; $x\in {\mathcal {U}}$ $\{X\}$ ${\mathcal {U}}$
dacă și este o submulțime în , atunci ; $x\in {\mathcal {U}}$ $y$ $X$ $y\in {\mathcal {U}}$
dacă , atunci îi aparține și perechea ordonată ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $(X y)$ ${\mathcal {U}}$
dacă , atunci uniunea și produsul cartezian îi aparțin ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $x\cup y$ $x\times y$ ${\mathcal {U}}$
if este o familie de elemente și , atunci ; $(x_{i},i\in I)$ ${\mathcal {U}}$ $I\in {\mathcal {U}}$ $\prod _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$
dacă , atunci (în special, universul Grothendieck nu este propriul său element). $x\in {\mathcal {U}}$ $card(x)<card({\mathcal {U}})$

Axioma despre universuri

SGA4 introduce următoarea axiomă despre universuri:

Pentru orice set , există un univers astfel încât . $X$ ${\mathcal {U}}$ $x\in {\mathcal {U}}$

Definiții înrudite

Să fie ales un univers Grothendieck . ${\mathcal {U}}$

Un set este numit - mic dacă ; $X$ ${\mathcal {U}}$ $x\in {\mathcal {U}}$
O categorie se numeste - mica daca multimile obiectelor si morfismelor sale sunt -mice; ${\mathbf {C}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$
O categorie este numită local mică dacă toate seturile sale de origine sunt -mici. ${\mathbf {C}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$

În special, categoria tuturor - semurilor mici nu este -small, ci este local -small. ${\mathcal {U}}-\mathbf {Set}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$

Note

↑ Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas, Volumul 1, Théorie des Topos . Preluat la 21 aprilie 2016. Arhivat din original la 18 aprilie 2018. (nedefinit)