Ecuația Euler-Lagrange

Ecuațiile Euler-Lagrange (în fizică și ecuațiile Lagrange-Euler , sau ecuațiile Lagrange ) sunt formulele de bază ale calculului variațiilor , cu ajutorul cărora se caută punctele staționare și extremele funcționalelor . În special, aceste ecuații sunt utilizate pe scară largă în probleme de optimizare și, împreună cu principiul staționarității acțiunii, sunt utilizate pentru calcularea traiectoriilor în mecanică. În fizica teoretică în general, acestea sunt ecuațiile (clasice) ale mișcării în contextul derivării lor dintr-o expresie scrisă explicit pentru acțiune ( lagrangianul ).

Utilizarea ecuațiilor Euler-Lagrange pentru a găsi extremul unei funcționale este într-un sens similară cu utilizarea teoremei calculului diferențial, care afirmă că numai în punctul în care derivata întâi a unei funcții dispare poate o funcție netedă să aibă un extremum (în cazul unui argument vectorial , gradientul funcției este egalat cu zero, adică derivat față de argumentul vectorial). Mai precis, aceasta este o generalizare directă a formulei corespunzătoare în cazul funcționalelor — funcții ale unui argument infinit-dimensional.

Ecuațiile au fost derivate de Leonhard Euler și Joseph-Louis Lagrange în anii 1750 .

Formulare

Lasă funcțional

J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx

pe spațiul funcțiilor netede , unde denotă prima derivată în raport cu . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $f'$ $f$ $X$

Să presupunem că integrandul , are derivate parțiale primare continue . Funcția se numește funcția Lagrange sau Lagrangiană . $F(x,f(x),f'(x))$ $F$

Daca functionala atinge un extremum pe o functie , atunci ecuatia diferentiala obisnuita trebuie sa fie indeplinita pentru aceasta. $J$ $f$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))=0,

care se numește ecuația Euler-Lagrange .

Exemple

Luați în considerare un exemplu standard: găsiți cea mai scurtă cale între două puncte dintr-un plan. Răspunsul, evident, este segmentul care leagă aceste puncte. Să încercăm să o obținem folosind ecuația Euler-Lagrange, presupunând că cea mai scurtă cale există și este o curbă netedă .

Fie ca punctele de conectat să aibă coordonatele și . Apoi lungimea traseului care leagă aceste puncte poate fi scrisă după cum urmează: $(a,c)$ $(b,d)$ $y(x)$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.

Ecuația Euler-Lagrange pentru această funcțională ia forma:

{\frac d{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} =0,

de unde obținem asta

{\frac {dy}{dx}}=C\Rightarrow y=Cx+D.

Astfel, obținem o linie dreaptă. Având în vedere că , , adică că trece prin punctele inițiale, obținem răspunsul corect: un segment de dreaptă care leagă punctele. $y(a)=c$ $y(b)=d$

Variații multidimensionale

Există, de asemenea, multe versiuni multidimensionale ale ecuațiilor Euler-Lagrange.

Dacă este o cale în spațiul -dimensional, atunci oferă un extremum funcțional $q(t)$ $n$

J=\int \limits _{{t1}}^{{t2}}L(t,q(t),q'(t))\,dt

numai dacă îndeplinește condiția

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0

\forall k=1,2,\dots n

În aplicațiile fizice, când este un Lagrangian (adică Lagrangianul unui sistem fizic; adică dacă J este o acțiune pentru acel sistem), aceste ecuații sunt ecuațiile (clasice) de mișcare ale unui astfel de sistem. Această afirmație poate fi generalizată direct în cazul q infinit-dimensional . $L$

O altă generalizare multivariată se obține prin considerarea unei funcții de variabile. Dacă este o suprafață (în acest caz, n - dimensională), atunci $n$ $\Omega$

J=\int \limits _{{\Omega }}L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{{x_{1}}},\dots ,f_{{x_{n} }})\,d\Omega ,

unde sunt coordonatele independente, , , $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})$ $f_{{x_{i))}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$

oferă un extremum numai dacă satisface ecuația cu diferență parțială $f$

{\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{{i=1}}^{{n}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{{x_{i))))}=0.

Dacă și este energia funcțională, atunci această problemă se numește „minimizarea suprafeței peliculei de săpun”. $n=2$ $L$

O combinație evidentă a celor două cazuri descrise mai sus este utilizată pentru a obține ecuațiile de mișcare pentru sistemele distribuite, cum ar fi câmpuri fizice, corzi vibrante sau membrane și așa mai departe.

În special, în locul ecuației statice de echilibru a unei pelicule de săpun, dată ca exemplu în paragraful anterior, avem în acest caz ecuația dinamică a mișcării unui astfel de film (dacă, desigur, am reușit să notăm inițial acţiunea pentru aceasta, adică energia cinetică şi potenţială).

Istorie

Ecuația Euler-Lagrange a fost obținută în anii 1750 de Euler și Lagrange în timp ce rezolvau problema izocronei. Aceasta este problema determinării curbei pe care o particulă grea o duce la un punct fix într-un timp fix, indiferent de punctul de plecare.

Lagrange a rezolvat această problemă în 1755 și a trimis soluția lui Euler. Metoda Lagrange dezvoltată mai târziu și aplicarea ei în mecanică a condus la formularea mecanicii lagrangiene . Corespondența oamenilor de știință a dus la crearea calculului variațiilor (termenul a fost propus de Euler în 1766 ).

Dovada

Derivarea ecuației unidimensionale Euler-Lagrange este una dintre demonstrațiile clasice în matematică. Se bazează pe lema principală a calculului variațiilor .

Vrem să găsim o funcție care să satisfacă condițiile la limită și să furnizeze un extremum funcționalului $f$ $f(a)=c$ $f(b)=d$

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.

Să presupunem că are derivate prime continue. Condițiile mai slabe sunt și ele suficiente, dar proba pentru cazul general este mai complicată. $F$

Dacă dă un extremum funcționalului și satisface condițiile la limită, atunci orice perturbare slabă care păstrează condițiile la limită trebuie să crească valoarea (dacă o minimizează) sau să o micșoreze (dacă o maximizează). $f$ $f$ $J$ $f$ $J$ $f$

Fie orice funcție diferențiabilă care satisface condiția . Să definim $\eta (x)$ $\eta (a)=\eta (b)=0$

J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)) \,dx.

unde este un parametru arbitrar. $\varepsilon$

Deoarece dă un extremum pentru , atunci , adică $f$ $J(0)$ $J'(0)=0$

J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f))+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\dreapta]\,dx=0.

Integrând al doilea termen pe părți, constatăm că

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{ b}.

Folosind condițiile la limită de pe , obținem $\eta$

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.

De aici, deoarece - oricare, ecuația Euler-Lagrange urmează: $\eta (x)$

{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.

Dacă nu introducem condiții la limită pe , atunci sunt necesare și condițiile de transversalitate: $f(x)$

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0

Generalizare la cazul derivatelor superioare

Lagrangianul poate depinde și de derivate de ordin mai mare decât primul. $f$

Fie funcțional al cărui extremum trebuie găsit să fie dat sub forma:

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{{(n)}}( x))\,dx.

Dacă impunem condiții de limită asupra și asupra derivatelor sale până la ordinul inclusiv și, de asemenea, presupunem că are derivate parțiale continue de ordinul [1] , atunci, aplicând integrarea pe părți de mai multe ori, putem obține un analog al lui Euler - Ecuația Lagrange și pentru acest caz: $f$ $n-1$ $F$ $2n$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))+{\frac {d^{2} }{dx^{2))}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^ {n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{{(n))))))=0.

Această ecuație este adesea denumită ecuația Euler-Poisson .

Două lagrangie care diferă printr-o derivată totală vor da aceleași ecuații diferențiale, dar ordinea maximă a derivatelor în acești lagrangie poate fi diferită. De exemplu, . Pentru a obține o ecuație diferențială pentru extrem, este suficient să aplicați ecuația Euler-Lagrange „obișnuită” la , iar pentru , deoarece depinde de derivata a doua, trebuie să utilizați ecuația Euler-Poisson cu termenul corespunzător: $L_{1}=(f^{\prime }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{{\prime \prime }}(x)~,~L_ {1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))$ $L_{1}$ $L_{2}$

{\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^ {{\prime \prime ))(x),

{\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^({\prime \prime }}}}=-2f^{{\prime \ prim}}(x),

iar in ambele cazuri se va obtine aceeasi ecuatie diferentiala . $-2f^{{\prime \prime }}(x)=0$

Note

↑ A. M. Denisov, A. V. Razgulin. Ecuații diferențiale obișnuite (rusă) ? . Preluat la 11 iunie 2021. Arhivat din original la 11 iunie 2021. (nedefinit)

Literatură

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Control optim. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă: Metode și aplicații. — M.: Nauka, 1979
Ecuațiile diferențiale ale lui Elsgol LE și calculul variațiilor. — M.: Nauka, 1969.
Zelikin M. I. Spații omogene și ecuația Riccati în calculul variațiilor, - Factorial, Moscova, 1998.
Zelikin M. I. Controlul optim și calculul variațiilor, - URSS, Moscova, 2004.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Calculul variațiilor (engleză) pe site-ul PlanetMath .
Rezumat cu câteva informații istorice
Exemple - probleme din calculul variațiilor.