Calculul variațiilor

Calculul variațiilor este o ramură a analizei care studiază variațiile funcționalelor . Cea mai tipică sarcină este să găsești o funcție pe care funcționalul dat atinge o valoare extremă .

Metodele de calcul al variațiilor sunt utilizate pe scară largă în diferite domenii ale matematicii . De exemplu, în geometria diferențială , acestea sunt folosite pentru a căuta linii geodezice și suprafețe minime . În fizică, metoda variațională este unul dintre cele mai puternice instrumente pentru obținerea ecuațiilor de mișcare (vezi, de exemplu , principiul acțiunii minime ), atât pentru sistemele discrete, cât și pentru cele distribuite, inclusiv pentru câmpurile fizice. Metodele de calcul al variațiilor sunt aplicabile și în statică (vezi Principii variaționale ).

Termeni și definiții

Cele mai importante concepte ale calculului variațiilor sunt următoarele:

variație (prima variație),
derivată variațională (prima derivată variațională),
pe lângă prima variație și prima derivată variațională, sunt luate în considerare și variațiile și derivatele variaționale de ordinul doi și superior.

Variația funcției în analiză , care coincide în nume, nu este în nici un fel legată de calculul variațional .

Termenul variație ( variază ) - este folosit în calculul variațiilor pentru a desemna găsirea unei variații sau a unei derivate variaționale (acesta este un analog al termenului de diferențiere pentru cazul unui argument cu dimensiuni infinite, care este subiectul calculului de variatii). De asemenea, adesea pentru concizie (mai ales în aplicații), termenul de variație este folosit pentru a desemna soluția unei probleme variaționale, care se reduce la găsirea derivatei variaționale și echivalarea acesteia cu zero.

O problemă variațională înseamnă, de regulă, găsirea unei funcții (în cadrul calculului variațiilor, o ecuație pentru o funcție) care satisface condiția de staționaritate pentru o anumită funcțională dată, adică o funcție ale cărei perturbații (infinit de mici) nu nu provoacă o schimbare a funcționalului, cel puțin în primul ordin al micimii. De asemenea, o problemă variațională este o problemă strâns legată de găsirea unei funcții (o ecuație pentru o funcție) pe care o anumită funcție funcțională atinge un extremum local (în multe privințe, această problemă se reduce la prima, uneori aproape complet). De obicei, cu o astfel de utilizare a termenilor, se presupune că problema este rezolvată prin metode de calcul al variațiilor.

Exemple tipice de problemă variațională sunt problemele izoperimetrice din geometrie și mecanică; în fizică, problema găsirii ecuațiilor de câmp dintr-un anumit tip de acțiune pentru acest câmp.

Istorie

Chiar și în antichitate au apărut primele probleme variaționale legate de categoria problemelor izoperimetrice - de exemplu, problema lui Dido . Matematicienii greci antici știau deja [1] :

Dintre toate figurile cu un perimetru dat , cercul are cea mai mare suprafață.
Dintre toate poligoanele cu un număr dat de laturi și un perimetru dat, poligonul obișnuit are cea mai mare suprafață .
Dintre toate corpurile cu o suprafață dată, sfera are cel mai mare volum . O problemă similară pentru segmentele sferice a fost rezolvată de Arhimede și Zenodor în secolul al II-lea î.Hr. e. a scris cartea „Despre figurile izoperimetrice” (au fost păstrate citate ample din ea în lucrările altor autori).

Primul principiu variațional a fost formulat pentru traiectoriile razelor de lumină reflectate de Heron din Alexandria în lucrarea sa „Katoptrik” (secolul I d.Hr.) [2] .

În Europa medievală, problemele izoperimetrice au fost tratate de I. Sacrobosco (sec. XIII) și T. Bradwardin (sec. XIV). După dezvoltarea analizei , au apărut noi tipuri de probleme variaționale, în principal de natură mecanică. Newton în „ Principiile matematice ale filosofiei naturale ” (1687) rezolvă problema: să găsească forma unui corp de revoluție care oferă cea mai mică rezistență atunci când se deplasează într-un gaz sau lichid (pentru dimensiuni date). O problemă istorică importantă care a dat impuls dezvoltării versiunii moderne a calculului variațiilor a fost problema brahistocronului (1696). Soluția sa rapidă de către mai mulți matematicieni deodată a arătat posibilitățile enorme ale noilor metode. Printre alte sarcini, este de remarcat determinarea formei catenarei (adică forma echilibrului unui fir omogen greu, 1690). Metode generale de rezolvare a problemelor variaționale nu existau încă în această perioadă, fiecare problemă a fost rezolvată cu ajutorul unui raționament geometric inteligent (și nu întotdeauna impecabil).

Pierre Fermat a formulat principiul de bază al opticii geometrice, în virtutea căruia lumina într-un mediu neomogen alege calea care durează cel mai puțin timp. În 1746, Maupertuis a generalizat această regulă introducând în știință primul principiu al acțiunii minime .

Contribuțiile decisive la dezvoltarea calculului variațiilor au fost aduse de Leonhard Euler și Joseph Lagrange . Euler deține prima expunere sistematică a calculului variațiilor și a termenului în sine (1766). Lagrange a obținut în mod independent (din 1755) multe rezultate fundamentale și a introdus conceptul de variație .

În această etapă, au fost derivate ecuațiile Euler-Lagrange . Ele reprezintă o condiție necesară pentru un extremum, care a devenit fundamentul analitic al metodelor variaționale. Cu toate acestea, curând a devenit clar că soluțiile acestor ecuații nu dau în toate cazurile un extremum real și a apărut problema găsirii unor condiții suficiente care să garanteze un extremum. Primul studiu aprofundat (al celei de-a doua variații) a fost întreprins de Legendre , dar Lagrange a descoperit o eroare în munca sa. Rezultatele lui Legendre au fost rafinate și completate de Jacobi (1837), apoi de elevul său Hesse (1857) și mai târziu de Weierstrass . Acum aceste condiții suficiente sunt numite ecuații Jacobi [3] .

Discuție informală

Conținutul calculului variațiilor este o generalizare a conceptului de diferențială și derivată a unei funcție a unui argument vectorial cu dimensiuni finite la cazul unei funcționale - o funcție al cărei domeniu de definiție este o anumită mulțime sau spațiu de funcții. , iar valorile se află în mulțimea numerelor reale sau complexe.

Peste tot mai jos în această secțiune, se presupune că funcțiile și funcționalele au netezimea necesară, adică problema existenței anumitor derivate nu este luată în considerare în mod specific, mai ales că în multe probleme specifice această întrebare nu are o semnificație practică (netezimea necesară este cu siguranță acolo).

Funcționalul asociază fiecare funcție specifică din domeniul său de definire cu un anumit număr. $\Phi[f]$ $f$

Este ușor să scrieți analogi ale diferențialului și derivatei direcționale pentru funcțional.

Varianta

Analogul diferenţialului (prima diferenţială) este variaţia în calculul variaţiilor ( prima variaţie ):

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

(ca și în cazul unei diferențiale, ne referim la partea liniară a acestui increment, iar în mod tradițional, se alege să fie infinitezimal, iar la calcularea diferenței, ordinele superioare infinitezimale sunt aruncate). În același timp , jucând rolul unui diferențial sau al unui mic increment al unei variabile independente, se numește variație . $\delta f$ $\delta f$ $f$

După cum puteți vedea, în sine, la rândul său, este un funcțional, deoarece, în general, este diferit pentru diferit (și pentru diferit ). $\delta\Phi$ $f$ $\delta f$

Astfel, aplicat la funcționale, acesta este un analog direct al diferenţialului unei funcţii a unui argument cu dimensiuni finite (inclusiv unidimensionale):

dy=y(x+dx)-y(x)

- în același mod înțeles ca parte liniară a incrementului funcției cu un increment infinitezimal al argumentului (sau termenul liniar în expansiunea în puteri în apropierea punctului ). $y$ $X$ $y$ $dx$ $X$

Exemple

Pentru o funcțională a unei funcții reale a unui argument real - pentru orice și va fi adevărat . $\Phi[f]=\cos(f(1))$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))$
Pentru o funcțională a unei funcții reale a unui argument real - pentru orice și va fi adevărat . $\Phi[f]=\cos(f(1))+\sin(f(6))$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))+\cos(f(6))$
Pentru o funcțională a unei funcții reale a unui argument real - pentru orice și va fi adevărat . $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=\int\limits_1^2(f(x)+\delta f(x))\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2\delta f(x)\,dx$

Derivată direcțională

( Derivată Gateaux ) Derivata funcționalei într-un punct din direcția , evident, va fi $\Phi$ $f$ $g$

\frac{d\Phi[f+\alpha g]}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=0}.

În principiu, acest lucru este deja suficient pentru a rezolva o problemă variațională tipică - găsirea de „puncte staționare”, adică astfel de funcții pentru care prima variație sau derivată direcțională dispare pentru orice infinitezimal sau orice finit . Aceste „puncte” din spațiul funcțiilor - adică tocmai astfel de funcții - sunt candidate pentru extremale (verificarea dacă sunt cu adevărat extreme, adică dacă se ajunge la un extremum local asupra lor, trebuie făcută separat, ca în cazul funcțiilor unui argument cu dimensiuni finite; este interesant că în multe probleme de fizică este mai important să se găsească nu extreme, ci puncte precis staționare). În unele surse, există o terminologie în care toate punctele staționare ale funcționalului sunt numite extremale, iar apoi se află tipul extremalului. Analiza punctelor staționare se bazează pe studiul semnului derivatei a doua în raport cu direcția. $f$ $\delta f$ $g$

Exemple (Nu este introdusă nicio notație specială pentru derivata direcțională aici.)

Derivata funcționalei într-un punct de-a lungul direcției este . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\cos(0))}{d\alpha}=1$
Derivata funcționalei într-un punct de-a lungul direcției este . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\sin(0))}{d\alpha}=0$
Derivata funcționalei într-un punct de-a lungul direcției este . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d}{d\alpha}\left((1+\alpha)\int\limits_0^{2\pi}\cos^2x\,dx)\right)=\pi$
Derivata funcționalei într-un punct de-a lungul direcției este . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d}{d\alpha}\left(\alpha\int\limits_0^{2\pi}\sin x\cos x\,dx\right)=\frac{d0}{d\alpha}=0$

Derivată variațională

Pentru funcționalele integrale , care sunt un caz foarte important pentru matematică și aplicații, se poate introduce nu numai un analog al diferenţialului și o derivată în direcție, ci și o derivată Fréchet - un analog al gradientului de dimensiuni finite , numită derivată variațională. .

Adică în analogie completă cu cazul finit-dimensional când

dy={\big (}{\vec {\nabla }}y,\;d{\vec {x}}{\big )}=\left({\frac {dy}{d{\vec {x}}}},\;d{\vec {x}}\right)=\sum _{i}\partial _{i}y\,dx_{i}

unde este desemnarea gradientului (sau derivata Fréchet) a funcției și este produsul scalar; este operatorul derivatei parțiale în raport cu coordonata-lea, suma este diferența totală . $\vec\nabla y$ $y$ $(\;,\;)$ $\partial_i$ $i$

Pentru funcționalitatea pe care o avem

\delta\Phi=\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f},\;\delta f\right)=\int\frac{\delta\Phi}{\delta f}(x)\ delta f(x)\,dx

unde este notația pentru derivata variațională , iar însumarea unei formule cu dimensiuni finite este înlocuită în mod natural de integrare. $\frac{\delta\Phi}{\delta f}$ $\Phi$

Asa de,

\frac{\delta\Phi}{\delta f}

este notația standard pentru derivata variațională . Aceasta este, de asemenea, o anumită funcție atât a și (în general vorbind, aceasta este o funcție generalizată a lui , dar această rezervă este dincolo de domeniul de aplicare, deoarece se presupune că toate funcțiile și funcționalele sunt în mod arbitrar netede și nu au singularități).

X

f

Cu alte cuvinte, dacă este posibil să se reprezinte o variație

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

la fel de

\delta\Phi=\int A(x)\delta f(x)\,dx

, unde este o funcție ,

A

X

adică derivata variațională prin („prin ” înseamnă aici că argumentele sau parametrii rămași nu se modifică; rulajul vorbirii „prin ” poate fi omis în cazul în care se determină cu precizie care funcțională din care funcție este considerată , care în practica poate să nu fie clară din însăși formula sa, care poate include alți parametri și funcții - vezi și mai jos). Acesta este $A$ $\Phi$ $f$ $f$ $f$ $\Phi$

\frac{\delta\Phi}{\delta f} = A.

Exemple (Și aici diferența integralelor este redusă la o integrală.)

Pentru funcționalitatea pe care o avem $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \left(f(x)+\delta f(x)\right)\,dx-\int \limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta f(x)\,dx \Rightarrow \frac{\delta\Phi}{\delta f}=1.

Pentru o funcțională, derivata variațională se calculează astfel: $\Phi[f]=\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta(K(x)f(x))\,dx=\int\ limits_1^2 K(x)\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=K(x).

Pentru funcționalitate $\Phi[f]=\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2 \delta L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2\ frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.

Dacă exprimăm diferența infinitezimală a unei funcții în termenii derivatei sale și diferența argumentului , obținem:

\delta L(f)

\delta f

\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f.

Este ușor de observat că această definiție poate fi generalizată la orice dimensiune a integralei. Pentru cazul -dimensional, formula care generalizează direct cazul unidimensional este adevărată: $n$

\delta\Phi=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\right)\delta f(x)\,d^nx.

Noțiunea de derivată variațională poate fi generalizată cu ușurință și în cazul funcționalelor mai multor argumente [4] :

\delta\Phi[f,\;g,\;\ldots]=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\delta f(x)+\frac{\ delta\Phi}{\delta g}\delta g(x)+\ldots\right)\,d\Omega.

Exemple (Aici diferența dintre integrale este redusă la o integrală.)

Pentru un funcțional, cazul multidimensional al derivatei variaționale se calculează astfel: $\Phi[f]=\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\ delta L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x,\ ;y)\,dx\,dy\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.

Pentru funcționalitatea pe care o avem $\Phi[f,\;g]=\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))\,dx=\int\limits_1^2\delta L(f(x),\;g( x))\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g (x)\right)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f},\;\frac{\delta\Phi }{\ delta g}=\frac{\partial L}{\partial g}.

Exprimând diferența infinitezimală a unei funcții a mai multor argumente ca diferență totală , obținem:

\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g.

Variații și derivate variaționale de ordinul doi și superior

Așa cum este descris mai sus pentru primul ordin, se poate introduce conceptul de a doua variație și a doua derivată variațională a funcționalului, precum și a --a variație și --a-a derivată variațională : $n$ $n$

\delta^2\Phi,\;\frac{\delta^2\Phi[f]}{\delta f^2},\;\delta^n\Phi,\;\frac{\delta^n\Phi [f]}{\delta f^n}.

Pentru funcționalele care depind de mai multe funcții, se poate introduce și conceptul de derivate variaționale mixte de diferite ordine, de exemplu:

\frac{\delta^3\Phi[f,\;g]}{\delta f^2\delta g}.

Aici nu ne vom opri în detaliu asupra acestui lucru, totul se face într-un mod complet similar cu introducerea diferenţialelor şi derivatelor corespunzătoare pentru o funcţie a unui argument cu dimensiuni finite.

O funcțională în apropierea unui anumit punct din spațiul funcțiilor se extinde într- o serie Taylor , dacă, desigur, există derivate variaționale de toate ordinele. Ca și în cazurile cu dimensiuni finite, suma unui număr finit de termeni ai acestei serii dă valoarea funcționalei cu o anumită precizie (de ordinul corespunzătoare a micii) numai pentru mici abateri ale argumentului său (pentru cele infinit de mici). În plus, ca și în cazul funcțiilor unui argument cu dimensiuni finite, seria Taylor (suma tuturor termenilor) poate să nu convergă către funcționarea extinsă în ea pentru orice deplasări finite diferite de zero, deși astfel de cazuri sunt destul de rare în aplicatii.

Aplicarea calculului variațiilor

Deși problemele la care se aplică calculul variațiilor sunt considerabil mai largi, în aplicații ele se reduc în principal la două probleme principale:

găsirea de puncte în spațiul funcțiilor pe care este definită funcțională - puncte ale funcționalei staționare , funcții staționare, linii, traiectorii, suprafețe etc., adică găsirea pentru un dat a celor pentru care pentru orice (infinit mic) , sau , altfel, unde , $\Phi[f]$ $f$ $\delta\Phi=0$ $\delta f$ $\frac{\delta\Phi}{\delta f}=0$
găsirea extremelor locale ale funcționalului, adică, în primul rând, determinarea celor pe care iau valori extreme local - găsirea extremelor (uneori determinând și semnul extremului). $f$ $\Phi[f]$

Evident, ambele probleme sunt strâns legate, iar soluția celei de-a doua se reduce (cu o netezime cuvenită a funcționalului) la rezolvarea primei, iar apoi la verificarea dacă se atinge cu adevărat un extremum local (ceea ce se face independent manual, sau, mai sistematic , prin studierea derivatelor variaționale ale secundei și, dacă toate de același semn și cel puțin una dintre ele este egală cu zero, atunci de ordin superior). În procesul descris, se determină și tipul de extremum. Adesea (de exemplu, când funcția funcționalei staționare este unică și toate modificările funcționalei pentru orice perturbație mare au același semn), soluția la întrebarea dacă acesta este un extremum și ce tip este este evidentă în avans.

În acest caz, de foarte multe ori problema (1) se dovedește a fi nu mai puțin sau chiar mai importantă decât problema (2), chiar și atunci când clasificarea punctului staționar este nedefinită (adică se poate dovedi a fi un minim, maxim sau punct de șa, precum și un extremum slab, un punct în apropierea căruia funcțional este exact constant sau diferă de constantă într-un ordin mai mare decât al doilea). De exemplu, în mecanică (și în general în fizică) o curbă sau o suprafață a energiei potențiale staționare înseamnă echilibru, iar întrebarea dacă este o extremă este legată doar de problema stabilității acestui echilibru (care este departe de a fi întotdeauna important). Traiectoriile unei acțiuni staționare corespund mișcării posibile, indiferent dacă acțiunea pe o astfel de traiectorie este minimă, maximă sau șa. Același lucru se poate spune despre optica geometrică, unde orice linie de timp staționar (nu doar timpul minim, ca în formularea simplă a principiului lui Fermat al timpului minim ) corespunde mișcării posibile a unui fascicul de lumină într-un mediu optic neomogen. Există sisteme în care nu există extreme deloc, dar punctele staționare există.

Metodele de găsire a extremelor condiționate și a punctelor staționare condiționate (a se vedea mai jos) fac din calculul variațiilor un instrument și mai puternic pentru rezolvarea ambelor probleme.

Tehnica variației

Tehnica principală și obișnuită pentru găsirea derivatei variaționale a funcționalei integrale , al cărei integrand include nu numai valoarea funcției în punctul , ci și valorile derivatelor sale, adică nu numai , ci și , și așa mai departe (în principiu, derivate de orice ordin pot fi incluse, deși în problemele practice ordinele mai mari decât a doua sunt mult mai puțin frecvente și cel mai adesea ordinea derivatelor nu este mai mare decât prima; derivatele de un anumit ordin sunt incluse în funcționale practic interesante aproape întotdeauna: de exemplu, o astfel de funcțională precum lungimea unei curbe conține derivate de ordinul întâi, iar energia potențială a unei tije elastice îndoite sunt derivate de cel puțin ordinul doi) este integrarea pe părți. Acesta, în urma unei înregistrări destul de transparente și evidente a expresiei variației funcționalului direct conform rețetei descrise în articolul de mai sus, vă permite să atingeți scopul: găsirea derivatei variaționale. $\Phi[f]$ $f$ $X$ $f(x)$ $df/dx$ $d^2f/dx^2$

Expresia pentru variația funcționalului este scrisă destul de direct și simplu. Dar în acest caz, apare un inconvenient tipic [5] , care constă în faptul că în acest caz , nu numai termenii c ci și c apar în expresia sub integrală . Acest inconvenient este eliminat prin integrarea pe piese . $\delta\Phi[f]$ $\delta f$ $\delta(df/dx)$

Să luăm în considerare acest lucru mai întâi cu un exemplu simplu și particular, apoi cu unul general.

Exemplu: Să fie necesar să se găsească derivata variațională a funcționalului

\Phi[f]=\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx,

unde primul denotă derivata față de , și găsiți , pentru care valoarea este extremă. $X$ $f(x)$ $\Phi$

Este ușor de scris

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx=\int\limits_1^2\left( \delta\left((f'(x))^2\right)+\delta\left((f(x))^3\right)\right)\,dx=

=\int\limits_1^2\left(2f'(x)\delta(f'(x))+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx.

În mod evident, operația de luare a derivatei cu privire la poate fi liber interschimbată cu operația . Apoi $X$ $\delta$

\delta\Phi=\int\limits_1^2\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx .

Acum, pentru a nu sta sub semnul derivatei, care ne împiedică să scoatem din paranteze din ambii termeni (rămînul dintre paranteze este derivata variațională), trebuie să folosim integrarea pe părți în primul termen: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$

\delta\Phi=\int\limits_1^2 2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\ ,dx=

=2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}-\int \limits _{1}^{2}(2f'(x))'\delta f( x)\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx.

Acum puteți transforma din nou suma integralelor într-una și o puteți scoate din paranteze : $\delta f$

\delta\Phi=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1 ^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x) )^2\delta f(x)\dreapta)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^2\right) \delta f(x)\,dx,

părăsind termenul de hotar , stând singur. $2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)$

Termenul limită poate fi echivalat cu zero [6] , rezolvând astfel problema găsirii derivatei variaționale (într-adevăr, prin definiție, este ceea ce se află sub integrală în paranteze mari, doar termenul limită interferează cu definiția). Explicația faptului că termenul limită este egal cu zero nu este prea strictă (vezi nota [6] ), dar ne restrângem la el pentru a ne concentra asupra principalului lucru.

Pentru început, fixăm la punctele de limită, apoi termenul de limită va dispărea, deoarece va trebui să dispară la o astfel de fixare la și . Pentru multe probleme, o astfel de fixare a condițiilor la limită are loc inițial. Când se caută un extremum și o derivată variațională pe o clasă de funcții cu astfel de condiții la limită, termenul de limită poate fi pur și simplu aruncat. Dar dacă condițiile la limită nu sunt impuse de problema în sine, ele pot fi impuse artificial, problema este rezolvată pentru condiții fixe și apoi, dintre setul de soluții pentru diferite condiții la limită, se poate alege cea optimă (aceasta este de obicei nu e complicat). Pe scurt, rezolvarea problemei cu punerea la zero a termenului limită conține, printre altele, soluția problemei inițiale, este necesar doar restrângerea clasei de soluții deja găsite, schimbând și și alegând cea mai bună dintre ele. (Pentru o abordare mai ordonată și mai generală, vezi mai jos.) $f$ $\delta f$ $x=1$ $x=2$ $f(1)$ $f(2)$

Astfel, aici prin derivata variationala intelegem derivata variationala fata de clasa functiilor cu capete fixe, care (la cautarea unui extremal si in probleme similare), fiind egala cu zero, determina comportarea functiei in interiorul segmentului. . În acest sens, pentru exemplul nostru avem: $[1;\;2]$

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=(-2f'(x))'+3(f(x))^2,

iar condiția necesară pentru extremitate este egalitatea sa la zero, adică avem o ecuație pentru : $f$

-2f''(x)+3(f(x))^2=0.\

Rezolvarea acestei ecuații diferențiale va da o formă explicită , dar problema găsirii de soluții la ecuația diferențială este deja dincolo de sfera calculului variațiilor. Sarcina acestuia din urmă se limitează la obținerea unei astfel de ecuații și, eventual, a unor condiții suplimentare care să limiteze clasa soluțiilor admisibile. $f(x)$

Un exemplu într-o notație mai generală: Să fie necesar să se găsească derivata variațională a funcționalului (exemplul anterior este un caz special al acestuia și poate servi ca o ilustrare a acestuia):

\Phi[f]=\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx,

unde primul denotă derivata în raport cu , primul dublu indică derivata a doua în raport cu , și pot exista totuși derivate de ordin superior notate cu puncte și găsiți , pentru care valoarea este extremă. Aici, L este înțeles ca unele (de regulă, bine definite și specifice pentru fiecare sarcină specifică, ca în exemplul de mai sus, dar scrisă abstract aici pentru generalitate) funcție a mai multor argumente. Valorile derivatelor funcției f în fiecare punct al domeniului de integrare (care este notat aici ca un segment, dar poate fi și întreaga axă reală) sunt înlocuite ca argumente în L , după care se realizează integrarea peste x . $X$ $X$ $f(x)$ $\Phi$

Este ușor de scris

\delta\Phi=\delta\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx

= \int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x) + \frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx,

unde derivatele parțiale etc. sunt pur și simplu derivate parțiale ale funcției L în raport cu argumentele ei corespunzătoare, adică în această notație, pur și simplu se înțeleg parametrii corespunzători (sensul este de a găsi o diferență infinit de mică între $\frac{\partial L}{\partial f}, \frac{\partial L}{\partial f'}, \frac{\partial L}{\partial f''}$ $f, f', f''$

L \left(f(x) + \delta f(x), (f(x) + \delta f(x))', (f(x) + \delta f(x))'', ... \dreapta)

și

L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...\dreapta)

Evident, operația de luare a derivatei cu privire la poate fi schimbată liber cu operația , așa cum s-a discutat în detaliu în exemplul de mai sus. Prin urmare, aici pur și simplu nu punem paranteze care indică ordinea acestor operații în expresii etc. $X$ $\delta$ $\delta f'(x), \delta f''(x)$

Acum, pentru a nu sta sub semnul derivatei, ceea ce face dificilă scoaterea parantezelor din toți termenii integrandului (rămânând între paranteze - și va exista o derivată variațională), este necesar (reprezentând suma integrală ca sumă a integralelor) la al doilea termen pentru a aplica integrarea prin părți, la al treilea - pentru a aplica integrarea prin părți de două ori, la celelalte care conțin derivate mai mari (care sunt indicate aici prin puncte suspensive), aplicați integrarea prin părțile trei sau de mai multe ori, până când toate loviturile dispar cu , etc.: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$ $\delta f'''(x)$

\int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x) + \ frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx = \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f} \delta f(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\ partial L}{\partial f''}\delta f''(x)\,dx + ...\, =

= \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx + \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg |_a^b - \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' \delta f(x)\,dx + \frac{\partial L}{\ parțial f''} \delta f'(x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a ^b + \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)''\delta f(x)\,dx + ...

Acum puteți transforma din nou suma integralelor într-una și o puteți scoate din paranteze : $\delta f$

\delta \Phi = \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg|_a^b + \frac{\partial L}{\partial f''} \delta f'( x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a^b + ... + \int\ limits_a^b \bigg( \frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\partial L} {\partial f''}\bigg)'' + ... \bigg) \delta f(x)\,dx

lăsând în pace termenul de hotar. Termenul limită poate fi setat la zero, așa cum este descris și explicat în exemplul special de mai sus și, de asemenea, cu mai multă atenție, în paragrafe separate de mai jos, dedicate separat problemelor legate de membrul limită.

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg (\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)'' + ... ,

iar condiția necesară pentru extremitate este egalitatea sa la zero, adică avem o ecuație pentru : $f$

\frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'' }\bigg)'' + ... =0.\

(Înlocuind aici forma specifică a funcției L , obținem o ecuație specifică în locul acestei notații, de exemplu, înlocuind funcția în această formă generală a ecuației în conformitate cu exemplul particular discutat mai sus, și anume, vom obține și formă particulară a ecuației corespunzătoare acelui exemplu, deoarece aici și derivatele ordinelor secunde și superioare (indicate prin puncte suspensive) - pur și simplu nu - toate sunt egale cu zero). $L(f,f') = f^3 + f'^2,\$ ${\frac {\partial L}{\partial f)}=3f^{2}, {\frac {\partial L}{\partial f'))=2f',$

Rezolvarea unei astfel de ecuații diferențiale, așa cum s-a menționat deja mai sus, dă în principiu o formă explicită , care, totuși, se află în afara sferei de aplicare a calculului de variații, care se limitează la obținerea unei ecuații diferențiale și, eventual, a condițiilor suplimentare care limitează clasa soluţiilor fezabile (în legătură cu analiza termenului limită) . $f(x)$

Utilizarea funcțiilor generice

Această secțiune ia în considerare un astfel de caz particular, dar practic important, de utilizare a funcțiilor generalizate în rezolvarea problemelor variaționale, cum ar fi utilizarea funcției delta Dirac .

Utilizarea funcției - (nu confundați desemnarea acesteia cu simbolul variației!), precum și utilizarea funcțiilor generalizate în general, permite extinderea semnificativă a clasei de funcționale care pot fi scrise sub formă de funcționale integrale, și cărora, prin urmare, sunt aplicabile metodele de bază de variație (descrise mai sus). În același timp, funcționalele scrise în această formă includ funcționale atât de importante practic, cum ar fi funcționalele limită , ceea ce facilitează foarte mult lucrul cu ele și o face sistematică. $\delta$ $\delta(x)$

Pentru a facilita perceperea acestei secțiuni, vom evidenția cu caractere aldine funcția delta: - pentru a o deosebi de simbolul variației. $\boldsymbol\delta$

Să luăm în considerare un exemplu simplu. Să fie necesar să se găsească o funcție care să minimizeze funcționalitatea , în plus, că i se impun condițiile . $f(x)$ $W[f]=\frac{1}{2}\int\limits_0^1(f'(x))^2\,dx$ $f(0)=10,\;f(1)=20$

Pentru a facilita rezolvarea acestei probleme, este util să scrieți condițiile impuse în formular (în acest caz, acestea sunt funcționale). Fără a se limita la aceasta, folosind proprietatea principală a funcției delta, putem scrie și în formă integrală: $\Gamma_0[f]=10,\;\Gamma_1[f]=20$ $\Gamma_0[f]=f(0),\;\Gamma_1[f]=f(1)$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$

\Gamma_0[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-0)f(x)\,dx,

\Gamma_1[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-1)f(x)\,dx.

Acum este posibil (prin extinderea domeniului de integrare în definiția lui , cel puțin cu o valoare infinitezimală, dincolo de intervalul ) să adunăm și să scădem liber [7] funcționalele , ceea ce ne permite să reducem în mod formal soluția problemei inițiale. la problema extremului condiționat al funcționalului (vezi mai jos ), care se reduce la găsirea extremului unei noi funcționale cu factori constanți , ale căror valori specifice, după rezolvarea problemei găsirii minimului , trebuie selectate prin rezolvarea ecuaţiilor algebrice corespunzătoare. Astfel, condițiile la limită vor fi îndeplinite. Și cel mai important, funcțional în acest caz va avea o formă integrală complet transparentă, convenabilă pentru variație. $W$ $[0;1]$ $W,\;\Gamma_0,\;\Gamma_1$ $V=W-\lambda_0\Gamma_0-\lambda_1\Gamma_1$ $\lambda_0,\;\lambda_1$ $V$ $V$

O tehnică similară este convenabilă atunci când se impune funcției dorite nu condiții la limită, ci condiții pentru satisfacerea unei anumite ecuații în fiecare punct . $X$

Extreme condiționale

Pentru concizie, vom vorbi în această secțiune despre extremele condiționale, dar tot ceea ce este scris aici este la fel de aplicabil pentru găsirea punctelor staționare în general.

Un extremum condiționat este un extremum nu pe întregul domeniu de definire al unei funcții (funcționale), ci pe un anumit subset al acesteia, care se distinge printr-o condiție (sau condiții) special impusă. De obicei, vorbim despre alocarea prin această condiție (condiții) a unui submulțime a domeniului de definiție cu o dimensiune inferioară, care pentru domeniile finite-dimensionale are o anumită semnificație vizuală, dar pentru domeniile infinit-dimensionale (care sunt de obicei domenii de definire a funcționalelor), condițiile impuse trebuie luate în considerare doar abstract (ceea ce teoretic nu interferează cu a avea într-o analogie utilă cu cazul finit-dimensional).

Să fie necesar să se găsească extremul funcționalului într-o condiție impusă. $\Phi[f]$

Note și exemple

Ca de obicei, cazul banal, când condiția impusă este redusă la o expresie explicită a ceva în termeni de ceva (de exemplu, dacă se știe că ), nu are rost să o luăm în considerare în mod special, deoarece aceasta duce pur și simplu la o rescriere. a funcționalului într-o formă nouă (sau chiar la reducerea funcționalului la o funcție a unui număr finit de variabile). $f=\mathrm{const}\cdot\sin(x)+\mathrm{const}'\cdot\cos(x)$

Considerarea merită cazul când este impusă sub formă de egalitate la zero (în cazul general, o constantă) a unor alte funcționale (una sau mai multe), sau impunerea unei ecuații asupra funcției dorite, pe care trebuie să o satisfacă.

Un caz tipic al primei probleme cu o condiție impusă este o problemă izoperimetrică (de exemplu, problema lui Dido ). Un exemplu al celui de-al doilea tip de condiție poate fi impunerea în unele probleme fizice a cerinței de a respecta ecuația de continuitate (pentru probleme staționare - versiunea sa staționară ). $\mathrm{div}\vec v=0$

Principalele tipuri de probleme ale extremului condiționat pe care este logic să le luăm în considerare sunt următoarele:

Este necesar să găsim extremul funcționalului cu condiția ca celălalt funcțional să fie egal cu zero ; (faptul că partea dreaptă este zero nu încalcă generalitatea). $U[f]\$ $V[f]=0\$
Este necesar să se găsească extremul funcționalului în condiția . $U[f]\$ $V_1[f]=0,\;V_2[f]=0,\;\ldots,\;V_N[f]=0$
Este necesar să se găsească extremul funcționalului în condiția îndeplinirii pentru ecuația , unde este o funcție și/sau derivate ale lui , notate cu linii. $U[f]\$ $f\$ $v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)})=0$ $v\$ $f\$ $f\$

(Al treilea tip de condiție nu este scris aici în forma cea mai generală, dar aceasta este suficientă pentru scopurile noastre.)

Pentru primele două cazuri, aproape direct (la nivelul de rigoare pe care l-am adoptat acum, nu are sens să trasăm o graniță între cazul funcțiilor unui argument cu dimensiuni finite și funcționale), aplicăm metoda Lagrange a multiplicatorilor nedeterminați. . Și anume, pentru a găsi un extremum condiționat sub impunerea unor condiții adecvate, este necesar să se rezolve o problemă variațională pentru funcțional în primul și al doilea caz și apoi să se selecteze (prin rezolvarea ecuației din primul caz și a N ecuații cu derivate parțiale). pentru fiecare dintre ele în al doilea) cei care implementează minimum în familia de funcţii f găsită pentru care aceştia sunt parametri. Adică, în ceea ce privește calculul variațiilor, punctul cheie este să găsim și să echivalăm cu zero variația (sau derivata variațională) pentru unele funcționale noi , pentru aceste două cazuri: $U[f]\$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda V[f]$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda_1 V_1[f] - \lambda_2 V_2[f]- \dots - \lambda_N V_N[f]$ $d \hat U/ d \lambda = 0$ $\lambda _{i}$ $\lambda$ $\lambda$ $\hat U[f]$

$\delta \hat U = \delta (U - \lambda V) = 0,$
$\delta \hat U = \delta (U - \lambda_1 V_1- \lambda_2 V_2 - \dots - \lambda_N V_N) = \delta (U - \sum_i\lambda_i V_i) = 0,$

Al treilea caz este considerat aici pentru funcția integrală . Apoi găsirea extremului condiționat se reduce mai întâi la variarea funcționalului $U[f] = \int\limits_\Omega \dots d\Omega$

\hat U[f] = U[f] - \int\limits_\Omega \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n )})d\Omega

\int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)}) \bigg) d\Omega

unde este o variabilă care aparține regiunii de integrare (unidimensională sau n - dimensională), și este o funcție nedefinită x care va intra în ecuația obținută după calcularea derivatei variaționale și echivalarea acesteia cu zero. $X$ $\Omega$ $\lambda(x)$

Justificarea unei astfel de soluții pentru cazul 3 poate fi reprezentarea pentru fiecare punct de la îndeplinirea egalității ca echivalare a funcționalului cu zero folosind funcția delta Dirac . Mai mult, la nivel informal considerat aici, se poate considera evident că problema a devenit asemănătoare cu opțiunea 2 și, după însumarea tuturor , soluția ei se reduce la cea descrisă mai sus. $x_{0}$ $\Omega$ $v(f(x_0), f'(x_0), \dots, f^{(n)}(x_0)) = 0$ $x_{0}$ $V_{x_0} = \int\limits_\Omega \delta(x-x_0) \lambda(x_0) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n) )})d\Omega$ $x_{0}$

Astfel, punctul cheie din punctul de vedere al calculului variațiilor în găsirea extremumului condiționat al celui de-al treilea tip se reduce la

\delta \hat U = \delta \int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{ (n)})\bigg)d\Omega = 0.

Prin derivate pentru x multidimensional , se poate înțelege, de exemplu, derivate parțiale de diverse ordine , inclusiv mixte.

Ecuația Euler-Lagrange

Unul dintre principalele rezultate clasice ale calculului variațiilor, care au o mare importanță practică, sunt ecuațiile Euler-Lagrange - ecuații diferențiale care trebuie îndeplinite de o funcție care este staționară pentru o formă destul de generală în clasa sa și foarte importantă de o funcțională integrală (și, prin urmare, o funcție pe care o astfel de funcțională atinge un extremum local trebuie să satisfacă și aceste ecuații).

Suficient de standard pentru obținerea ecuațiilor Euler-Lagrange este modalitatea obișnuită de a găsi derivata variațională și de a echivala cu zero, sau metoda de a scrie variația care coincide practic cu aceasta folosind notația standard, așa cum este descris mai sus.

Aici, pentru a extinde tipurile de exemple, este dată derivarea ecuațiilor Euler-Lagrange folosind derivata direcțională a funcționalei.

Derivare folosind derivată direcțională. Exemplu privat

Pentru funcțiile netede ale unei variabile reale sau ale unui argument vectorial cu dimensiuni finite, maximul și minimul unei funcții date pot fi găsite prin găsirea punctelor în care derivata dispare (cel puțin aceasta este o condiție extremă necesară). În mod similar, rezolvarea problemelor netede ale calculului variațiilor poate fi obținută prin rezolvarea ecuației Euler-Lagrange corespunzătoare.

Pentru a ilustra acest proces, să luăm mai întâi în considerare problema specifică a găsirii celei mai scurte curbe în planul care leagă două puncte și . Lungimea curbei este dată de $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx,

Unde

f'(x)=\frac{df}{dx},

și unde , și . Funcția trebuie să aibă cel puțin o derivată. Dacă este un minim local și este o funcție adecvată care dispare la punctele de limită și având cel puțin prima derivată, atunci obținem $y=f(x)$ $f(x_1)=y_1$ $f(x_2)=y_2$ $f$ $f_0$ $f_1$ $x_1$ $x_{2}$

A[f_0]\leqslant A[f_0+\varepsilon f_1]

pentru orice aproape de 0. Prin urmare, derivata față de (care corespunde, până la un factor diferit de zero, primei variații a lui , calculată prin derivata direcțională) trebuie să dispară la pentru orice funcție . În acest fel, $\varepsilon$ $A[f_0+\varepsilon f_1]$ $\varepsilon$ $A$ $\varepsilon=0$ $f_1$

\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\,dx=0

pentru orice alegere de funcție . Dacă presupunem că are o derivată a doua continuă, atunci putem folosi formula de integrare prin părți : $f_1$ $f_0$

\int\limits_a^bu(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, dx.

După înlocuire

u(x)=\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2)),\quad v'(x)=f_1'(x),

se dovedește

u(x)v(x)\bigg|_{x_1}^{x_2}-\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0 „(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]\,dx=0,

dar primul termen dispare pentru că a fost ales să dispară la şi . Prin urmare, $v(x)=f_1(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2 }}\dreapta]\,dx=0

pentru orice funcție de două ori diferențiabilă care dispare la sfârșitul intervalului. Acesta este un caz special al lemei principale a calculului variațiilor: $f_1$

I=\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)H(x)\,dx=0

pentru orice funcție diferențiabilă care dispare la sfârșitul intervalului. Deoarece există o funcție arbitrară în intervalul de integrare, putem concluziona că . Apoi, $f_1(x)$ $f_1(x)$ $H(x)=0$

\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]=0.

Din această ecuație rezultă că

\frac{d^2f_0}{dx^2}=0.

Astfel, extremul din problema noastră este segmentele de linii drepte.

Este ușor de observat că această metodă coincide practic cu cea obișnuită (folosind notația standard), dacă este înlocuită cu . $\varepsilon f_1$ $\delta f\$

Derivare folosind derivată direcțională. Un caz mai general

Calcule similare pot fi efectuate în cazul general [8] când

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2} L(x,\;f,\;f')\,dx

și trebuie să aibă două derivate continue. Repetând raționamentul, găsim extrema , accept , găsim derivata față de , apoi înlocuim : $f$ $f_0$ $f=f_0+\varepsilon f_1$ $\varepsilon$ $\varepsilon=0$

\left.{\frac {dA}{d\varepsilon }}\right|_{{\varepsilon =0}}=\int \limits _{{x_{1}}}^{{x_{2}}} \left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_({\varepsilon =0}}\,dx=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1+\frac{\partial L}{\partial f'}f'_1\right)\,dx =\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1-f_1\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f' }\right)\,dx+\left.\frac{\partial L}{\partial f'}f_1\right|_{x_1}^{x_2}=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}f_1\left(\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \dreapta)\,dx=0.

În sfârșit, în virtutea lemei principale a calculului variațiilor, putem concluziona că funcția trebuie să satisfacă ecuația Euler-Lagrange $L$

-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}+\frac{\partial L}{\partial f}=0.

În cazul general, această ecuație este o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi , prin rezolvarea căreia se poate găsi extrema . $f$

Ecuația Euler-Lagrange este o condiție necesară , dar nu suficientă pentru existența unui extremum. Condițiile suplimentare sunt formulate separat.

Vezi și

Note

↑ Ribnikov, 1949 , p. 356-378.
↑ Ribnikov, 1949 , p. 377-378.
↑ A doua variantă a funcționalității. Condiție suficientă pentru minimul funcțional. . Consultat la 25 februarie 2011. Arhivat din original pe 4 aprilie 2010. (nedefinit)
↑ Formal, este posibil să se reducă funcționalitatea mai multor argumente , folosind o funcție cu un set de valori în spațiul -dimensional: , la o funcție funcțională în funcție de aceasta nouă funcție , dar pur tehnic este adesea mai convenabil de utilizat versiunea originală fără modificări, deoarece cu calcule specifice totul se reduce la final la un calcul component cu component, când toate sunt funcții cu valoare reală (în cazul extrem, cu valori complexe). $\Phi_n[f_1,\;f_2,\;\ldots,\;f_n]$ $n$ $f(x):=(f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x))$ $\Phi_1[f]$ $f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x)$
↑ Inconvenientul aici, în primul rând, este că derivatele îngreunează scoaterea din paranteze, ducând la forma , ceea ce înseamnă găsirea derivatei variaționale (care este tot ceea ce este între paranteze și este indicat prin elipse). Dar chiar dacă funcționalul este de așa natură încât derivata este ușor scoasă din paranteze, adică variația poate fi reprezentată ca , atunci diferențierea trebuie totuși eliminată. Acest lucru este necesar, pe baza considerațiilor că, prin definiție (și în sens), cu o derivată variațională, numai , și că se dovedește a nu mai fi „o funcție” , ar trebui să fie sub integrala . În caz contrar, atunci când căutați un extremum, este posibil să existe o direcție nesocotită de-a lungul căreia . Ceea ce nu mai este nicio funcție este ușor de văzut atunci când se impun condiții la limită. După cum este descris în articol, această dificultate este ușor de rezolvat. $\delta f$ $\delta\Phi$ $\int(\ldots)\delta f(x)\,dx$ $\int(\ldots)\delta\frac{df(x)}{dx}\,dx$ $\delta f$ $\delta f$ $df/dx$ $X$ $\delta \Phi \neq 0$ $df/dx$
↑ 1 2 Folosind funcția delta , puteți obține imediat un rezultat mai riguros, ținând cont de termenul limită, dar aici, pentru a simplifica prezentarea, ne vom descurca cu această abordare.
↑ Desigur, operația de adunare și scădere a funcționalelor este în principiu definită indiferent de forma notației lor, totuși, folosirea aceleiași forme o reduce la complet automată, transparentă și convenabilă din punct de vedere tehnic, deoarece totul se reduce acum la simpla adăugare a integralelor peste aceeași zonă, ceea ce înseamnă — la adăugarea integranților.
↑ Cazul în care funcția Lagrange are ca argumente o singură funcție și una dintre derivatele sale primare (acest caz este cel mai important în practică) este analizat în mod explicit aici , iar integrarea se realizează pe o variabilă reală. Totuși, teorema și demonstrația se generalizează destul de ușor și direct la orice număr finit de argumente, orice ordine finită în derivate și la o formulare cu integrare pe un domeniu finit-dimensional. $L$ $f$

Literatură

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Control optim. — M.: Nauka, 1979
Afanasiev VN, Kolmanovsky VB, Nosov VR Teoria matematică a proiectării sistemelor de control. - M . : Şcoala superioară , 2003. - 614 p. — ISBN 5-06-004162-X .
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometrie modernă: Metode și aplicații. — M.: Nauka, 1979
Seifert G., Trellfall V. Calculul variațiilor în general Ed. a 2-a, - M .: RHD, 2000
Krasnov M. L., Makarenko G. I., Kiselev A. I. Calculul variațiilor, problemelor și exercițiilor. — M.: Nauka, 1973
Petrov Yu. P. Din istoria calculului variatiilor si teoria proceselor optime // Cercetari istorice si matematice . - M . : Nauka , 1990. - Nr. 32/33 . - S. 53-73 .
Rybnikov K. A. Primele etape ale dezvoltării calculului variațiilor // Cercetări istorice și matematice . - M. - L .: GITTL, 1949. - Nr 2 . - S. 355-498 .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lecturi de fizică. Volumul 6: Electrodinamica. Traducere din engleză (vol. 3). — Editorial URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . — Capitolul 19: Principiul acțiunii minime. (O introducere foarte simplă, informală și vizuală în tehnica variației folosind principiul celei mai mici acțiuni ca exemplu; recomandată pentru studenții mai mari și poate pentru elevii juniori).
Nikolai Filonov. Calcul variațional . Lectorium (15.02.18). (nedefinit)
Fomenko AT Metode variaționale în topologie. — M.: Nauka, 1982
Ecuațiile diferențiale ale lui Elsgol LE și calculul variațiilor. — M.: Nauka, 1969.
Polak L.S. Principiile variaționale ale mecanicii. - M .: Fizmatlit , 1959-932 p.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Mare norvegian Rusă mare Brockhaus și Efron in jurul lumii Micul Brockhaus și Efron Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	J9U : 987007293785905171 LCCN : sh85018809 NDL : 00563089 NKC : ph126994

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare