Forma de ucidere

Forma Killing este o formă biliniară simetrică pe o algebră Lie de un anumit tip.

Istorie

Forma Killing a fost introdusă de Cartan în disertația sa. Numele „Forma uciderii” a fost introdus pentru prima dată de Borel în 1951 în onoarea lui Wilhelm Killing . În 2001, el a declarat că nu-și amintește de ce a ales acest nume anume și susține că ar fi mai corect să-l numim „forma lui Cartan” [1] .

Definiție

Luați în considerare o algebră Lie peste un câmp . Fiecare element al definește un endomorfism $\mathfrak{g}$ $K$ $X$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\la {\mathfrak {g}}$

\mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],

unde este paranteza Lie. Să presupunem că are o dimensiune finită. Apoi , urma de compoziție a unor astfel de endomorfisme definește o formă biliniară simetrică $[{*},{*}]$ $\mathfrak{g}$

B(x,y)=\mathrm {urmă} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})

cu valori în . Această formă se numește forma Killing pe [2] . $K$ $B$ $\mathfrak{g}$

Proprietăți

Forma Killing este biliniară și simetrică.
Forma Killing este o formă invariantă, adică. $B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$

unde este paranteza Lie.

[{*},{*}]

Dacă este o simplă algebră Lie , atunci orice formă biliniară simetrică invariantă este proporțională cu forma Killing. $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$
Forma Killing este, de asemenea, invariantă sub automorfismele algebrei Lie, i.e. $B(s(x),s(y))=B(x,y)$

unde .

s\în Aut({\mathfrak {g)})

În special, câmpul de formulare invariant la stânga din grupul Lie corespunzător, care coincide cu la identitate, este, de asemenea, invariant la dreapta și, prin urmare, bi-invariant. $B$

Criteriul Cartan afirmă că o algebră Lie este semi simplă dacă și numai dacă forma Killing este nedegenerată.
Forma Killing a unei algebre nilpotente este identic zero.
Dacă și sunt două idealuri în algebra Lie cu intersecție zero, atunci și formează subspații ortogonale în raport cu forma Killing. $eu$ $J$ $\mathfrak{g}$ $eu$ $J$
Complementul ortogonal față de ideal față de forma Killing este, de asemenea, un ideal.
Dacă o algebră Lie este o sumă directă a idealurilor sale, atunci forma sa Killing este o sumă directă a formelor Killing în termeni individuali. [3]

Vezi și

Cazimir invariant

Note

↑ Borel, Armand. Eseuri în istoria grupurilor Lie și a grupurilor algebrice. - American Mathematical Society și London Mathematical Society, 2001. - Vol. 21. - (Istoria matematicii).
↑ William Fulton, Joe Harris. Teoria reprezentării (engleză) // Texte de absolvire în matematică. - 2004. - ISSN 2197-5612 0072-5285, 2197-5612 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 .
↑ Introducere în grupurile Lie și algebrele Lie . www.math.stonybrook.edu . Preluat la 21 iunie 2021. Arhivat din original la 20 septembrie 2021. (nedefinit)