Formula Baker-Campbell-Hausdorff

Formula Baker-Campbell-Hausdorff definește o expresie pentru din următoarea egalitate $Z$

e^{X}e^{Y}=e^{Z)

aici , și sunt elemente ale algebrei Lie aproape de zero. Expresia pentru este destul de complexă lângă termenii alcătuiți din paranteze Lie din , . $X$ $Y$ $Z$ $Z$ $X$ $Y$

Existența acestei formule joacă un rol cheie în demonstrarea faptului că o algebră Lie determină complet structura locală a grupului său Lie. Un caz special al acestei formule are aplicații în mecanica cuantică și mai ales în optica cuantică .

Formula

Există mai multe opțiuni pentru înregistrare . Dacă sunt prezentate ca o extindere a seriei, atunci primii termeni vor arăta astfel: $Z$ $Z$

{\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)=\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X, Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)-\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]-\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y ,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\dreapta)+\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\ stânga([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\dreapta)+\\&{}\quad +{ \frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\dreapta) +\\&{}\quad +\cdots \end{aligned}}

unde „ ” conține termeni de ordine superioară. $\cdots$

Cea mai generală expresie pentru este dată de formula Dynkin [1] : $Z$

Z

\log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{ \begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1 }}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},

aici se efectuează însumarea tuturor valorilor nenegative ale și , și se adoptă următoarea notație: $si}$ $r_{i}$

[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\ dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\ dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].

Note

↑ N. Jacobson. Enveloping Algebras of Semi-Simple Lie Algebras // Nathan Jacobson Collected Mathematical Papers. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1989. — p. 77–86 . — ISBN 9781461282150 , 9781461236948 .