Formula Bernoulli

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Formula Bernoulli este o formulă în teoria probabilității care vă permite să găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă de un anumit număr de ori pentru orice număr de încercări independente. Formula Bernoulli vă permite să scăpați de un număr mare de calcule - adunarea și înmulțirea probabilităților - cu un număr suficient de mare de teste. Numit după proeminentul matematician elvețian Jacob Bernoulli , care a dezvoltat această formulă. $A$

Formulare

Teorema. Dacă probabilitatea apariției unui eveniment în fiecare încercare este constantă, atunci probabilitatea ca acest eveniment să se producă exact o dată în încercările independente este egală cu , unde . [unu] $p$ $P_{n}^{k)$ $k$ $n$ $P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk)$ $q=1-p$

Dovada

Să fie efectuate încercări independente și se știe că, în urma fiecărei încercări, un eveniment are loc cu probabilitate și, prin urmare, nu are loc cu probabilitate . Să fie, de asemenea, în cursul testării probabilităților și să rămână neschimbate. Care este probabilitatea ca, în urma unor încercări independente, un eveniment să se producă exact o dată? $n$ $A$ $P(A)=p$ $P({\bar {A}})=1-p=q$ $p$ $q$ $n$ $A$ $k$

Se pare că este posibil să se calculeze cu exactitate numărul de combinații „reușite” ale rezultatelor testelor pentru care evenimentul are loc o dată în studii independente - exact acesta este numărul de combinații de : $A$ $k$ $n$ $n$ $k$

C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.

În același timp, deoarece toate încercările sunt independente și rezultatele lor sunt incompatibile (un eveniment fie are loc, fie nu are loc), atunci probabilitatea de a obține o combinație „reușită” este exact egală cu . $A$ $p^{k}q^{nk)$

În cele din urmă, pentru a găsi probabilitatea ca un eveniment să apară exact o dată în încercările independente , trebuie să adunați probabilitățile de a obține toate combinațiile „reușite”. Probabilitățile de a obține toate combinațiile „reușite” sunt aceleași și egale , numărul de combinații „reușite” este egal cu , așa că în final obținem: $n$ $A$ $k$ $p^{k}q^{nk)$ $C_{n}^{k}$

P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^ {nk}.

Ultima expresie nu este altceva decât Formula Bernoulli. De asemenea, este util să rețineți că, datorită completitudinii grupului de evenimente, va fi adevărat

\sum _{k=0}^{n}(P_{n}^{k})=1.

Vezi și

Note

↑ Gmurman V. E. Teoria probabilităților și statistică matematică: manual pentru licențe . - Ed. a XII-a. - M. : Yutypz, 2013. - 478 p. — ISBN 9785991626477 , 5991626472.

Link -uri

Repetarea testelor. formula Bernoulli